PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE

Definicja (Prawdopodobieństwo warunkowe)

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B nazywamy liczbę określoną wzorem: \[P(A| B)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P(B)}\] \(A, B\subset \Omega \) i \(P(B)>0\)

Prawdopodobieństwo warunkowe to takie prawdopodobieństwo z dodatkową informacją.
Ta informacja (warunek) redukuje liczbę możliwych zdarzeń elementarnych, co zazwyczaj zmienia ostateczny wynik.

Przykład

Prawdopodobieństwo klasyczne

Rzucamy trzy razy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły trzy reszki.

\(\Omega = \{(O,O,O),(O,O,R),(O,R,O),(O,R,R),(R,O,O),(R,O,R),(R,R,O),(R,R,R)\} \)

\(\left|\Omega\right|=8\)

\(A = \{(R,R,R)\} \) - zdarzenie wypadły trzy reszki

\(\left|A\right|=1\)

\(\displaystyle P(A)=\frac{\left | A \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{1}{8}\)

Prawdopodobieństwo warunkowe (intuicja)

Ktoś rzucił 3 razy monetą, jaka jest szansa, że wypadły 3 reszki (zdarzenie A), jeżeli osoba która rzucała monetą poinformowała nasz że wypadła nieparzysta liczba reszek (zdarzenie B, warunek)

Warunek B zawęża naszą przestrzeń \(\Omega\) tylko do zdarzeń z nieparzystą liczbą reszek:

\(B = \{(O,O,R), (O,R,O), (R,O,O), (R,R,R)\} \)

\(|\Omega_{nowe}| = |B| = 4\)

\(A = \{(R,R,R)\} \) - zdarzenie wypadły trzy reszki, (jedyne zdarzenie z B, które nas interesuje).

\(\left|A\right|=1\)

\(\displaystyle P(A)=\frac{\left | A \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{1}{4}\)

Na końcu zadanie obliczone za pomocą wzoru z definicji.

\(\Omega = \{(O,O,O),(O,O,R),(O,R,O),(O,R,R),(R,O,O),(R,O,R),(R,R,O),(R,R,R)\} \)

\(\left|\Omega\right|=8\)

\( B=\{(O,O,R),(O,R,O),(R,O,O),(R,R,R)\} \)

\(\left|B\right|=4\)

\(\displaystyle P(B)=\frac{\left | B \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{4}{8}=\frac12\)

\(A = \{(R,R,R)\} \) - zdarzenie wypadły trzy reszki

\(A\cap B = \{(R,R,R)\} \) - część wspólna zbiorów A i B (trzy reszki i jednocześnie nieparzysta ich liczba).

\(\left|A\cap B\right|=1\)

\(\displaystyle P(A\cap B)=\frac{\left |A \cap B \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{1}{8}\)

\(\displaystyle P(A| B)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P(B)}=\frac {\frac18} {\frac12}=\frac14\)

PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA

Zadanie 1

Z tali 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to piątka jeżeli wiadomo, że wylosowana karta, jest koloru pikowego.

Rozwiązanie

Zadanie 2

Z tali 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to piątka jeżeli wiadomo, że wylosowana karta, nie jest figurą (zakładamy, że As jest figurą).

Rozwiązanie

Zadanie 3

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa od 7, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadła czwórka.

Rozwiązanie

Zadanie 4

Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest parzysta (zdarzenie \( A \)), jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadło więcej niż 4 oczka (zdarzenie \( B \)).

Rozwiązanie

Zadanie 5

Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są białe, jeśli wiadomo, że przynajmniej jedna z wylosowanych kul jest biała.

Rozwiązanie

Zadanie 6

Ze zbioru \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn tych liczb jest nieparzysty pod warunkiem, że suma tych liczb jest również nieparzysta.

Rozwiązanie

Zadanie 7

Ze zbioru liczb \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest mniejsza lub równa 15 (zdarzenie \( A \)), jeśli wiadomo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od 5 (zdarzenie \( B \)).

Rozwiązanie