PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA
Zadanie 6
Ze zbioru \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn tych liczb jest nieparzysty pod warunkiem, że suma tych liczb jest również nieparzysta.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \Omega \) - Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
W zbiorze mamy 9 liczb. Losujemy 3 bez uwzględniania kolejności.
\( |\Omega| = \binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84 \)
W zbiorze mamy 9 liczb. Losujemy 3 bez uwzględniania kolejności.
\( |\Omega| = \binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84 \)
Wprowadźmy oznaczenia:
\( A \) - iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty
\( B \) - suma wylosowanych liczb jest nieparzysta
\( A \) - iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty
\( B \) - suma wylosowanych liczb jest nieparzysta
Zdarzenie B - suma jest nieparzysta
Suma trzech liczb jest nieparzysta w dwóch przypadkach:
\( B_1 \) - wylosowano 3 liczby nieparzyste
\( |B_1| = \binom{5}{3} = 10 \)
\( B_2 \) - wylosowano 1 liczbę nieparzystą i 2 liczby parzyste
\( |B_2| = \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} = 5 \cdot 6 = 30 \)
Suma trzech liczb jest nieparzysta w dwóch przypadkach:
\( B_1 \) - wylosowano 3 liczby nieparzyste
\( |B_1| = \binom{5}{3} = 10 \)
\( B_2 \) - wylosowano 1 liczbę nieparzystą i 2 liczby parzyste
\( |B_2| = \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} = 5 \cdot 6 = 30 \)
Moc zbioru \( B \) jest sumą obu przypadków:
\( |B| = |B_1| + |B_2| = 10 + 30 = 40 \)
\( P(B) = \frac{40}{84} \)
\( |B| = |B_1| + |B_2| = 10 + 30 = 40 \)
\( P(B) = \frac{40}{84} \)
Część wspólna \( A \cap B \)
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są nieparzyste. Odpowiada to przypadkowi \( B_1 \).
\( |A \cap B| = 10 \)
\( P(A \cap B) = \frac{10}{84} \)
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są nieparzyste. Odpowiada to przypadkowi \( B_1 \).
\( |A \cap B| = 10 \)
\( P(A \cap B) = \frac{10}{84} \)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\( P(A|B) = \frac{10}{84} : \frac{40}{84} = \frac{1}{4} \)
\( P(A|B) = \frac{10}{84} : \frac{40}{84} = \frac{1}{4} \)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi \( \frac{1}{4} \).