SCHEMAT BERNOULLIEGO - ZADANIA
Zadanie 4
Rzut kostką (Określanie szans)Rzucamy standardową sześcienną kostką 5 razy. Sukcesem jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że taki sukces odniesiemy dokładnie 2 razy.
Analiza i oznaczenia
Najpierw musimy ustalić szansę na sukces w pojedynczym rzucie. Liczby oczek podzielne przez 3 na kostce to {3, 6}. Są to 2 wyniki z 6 możliwych.
\(n = 5\) (liczba wszystkich rzutów)
\(k = 2\) (liczba oczekiwanych sukcesów)
\(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (szansa na sukces w jednym rzucie)
\(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (szansa na porażkę)
\(n = 5\) (liczba wszystkich rzutów)
\(k = 2\) (liczba oczekiwanych sukcesów)
\(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (szansa na sukces w jednym rzucie)
\(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (szansa na porażkę)
Obliczenia
Podstawiamy do wzoru Bernoulliego:
\(P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)
\(P_5(2) = \binom{5}{2} \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3\)
\(P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27}\)
\(P_5(2) = 10 \cdot \frac{8}{243} = \frac{80}{243} \approx \mathbf{0,3292}\)
Podstawiamy do wzoru Bernoulliego:
\(P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)
\(P_5(2) = \binom{5}{2} \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3\)
\(P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27}\)
\(P_5(2) = 10 \cdot \frac{8}{243} = \frac{80}{243} \approx \mathbf{0,3292}\)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3 dokładnie dwa razy wynosi ok. 0,3292.