SCHEMAT BERNOULLIEGO
Definicja (Próba Bernoulliego)
Abyśmy mogli zastosować ten model, muszą zostać spełnione trzy warunki:
1. Niezależność: Wynik jednej próby nie wpływa na wyniki pozostałych.
2. Stałość szans: Prawdopodobieństwo sukcesu \(p\) jest w każdej próbie takie samo.
3. Dwa wyniki: Każda próba kończy się sukcesem (\(p\)) lub porażką (\(q = 1 - p\)).
Twierdzenie (Wzór Bernoulliego)
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie \(k\) sukcesów w \(n\) niezależnych próbach wyraża się wzorem:
\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
Gdzie:
\(n\) – liczba wszystkich prób,
\(k\) – liczba sukcesów,
\(p\) – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,
\(q = 1 - p\) – prawdopodobieństwo porażki.
Przykład (Rzut kostką)
Rzucamy kostką 5 razy. Sukcesem jest wypadnięcie "szóstki". Oblicz szansę, że wypadnie ona dokładnie 2 razy.
Analiza i obliczenia
\(n = 5\) (liczba rzutów)
\(k = 2\) (liczba sukcesów)
\(p = \frac{1}{6}\) (szansa na szóstkę)
\(q = \frac{5}{6}\) (szansa na inny wynik)
\[P_5(2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]
\[P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx \mathbf{0,16}\]
Kiedy stosujemy?
- Gdy powtarzamy wiele razy to samo działanie.
- Gdy interesuje nas liczba sukcesów, a nie ich kolejność.
- Gdy prawdopodobieństwo nie zmienia się w czasie (np. losowanie ze zwracaniem).
SCHEMAT BERNOULLIEGO - ZADANIA
Zadanie 1
Rzuty monetą (Symetria)
Rzucamy symetryczną monetą 6 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy.
Rozwiązanie
Zadanie 2
Rzuty wolne (Sport)
Koszykarz trafia rzuty wolne ze skutecznością 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 5 oddanych rzutów trafi dokładnie 4 razy?
Rozwiązanie
Zadanie 3
Kontrola jakości (Zdarzenie przeciwne)
Wiadomo, że 5% żarówek jest wadliwych. Wybieramy losowo 4 żarówki. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z nich jest wadliwa.
Rozwiązanie
Zadanie 4
Rzut kostką (Określanie szans)
Rzucamy standardową sześcienną kostką 5 razy. Sukcesem jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że taki sukces odniesiemy dokładnie 2 razy.
Rozwiązanie
