SCHEMAT BERNOULLIEGO - ZADANIA
Zadanie 3
Kontrola jakości (Zdarzenie przeciwne)Wiadomo, że 5% żarówek jest wadliwych. Wybieramy losowo 4 żarówki. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z nich jest wadliwa.
Analiza i oznaczenia
Sformułowanie „co najmniej jedna” oznacza, że szukamy sumy szans dla 1, 2, 3 lub 4 wadliwych żarówek.
Najszybciej obliczymy to, odejmując od całości szansę na to, że żadna żarówka nie jest wadliwa (\(k=0\)).
\(n = 4\) (liczba wybranych żarówek)
\(k = 0\) (szukamy najpierw braku sukcesów)
\(p = 0,05\) (szansa na wadliwą żarówkę)
\(q = 0,95\) (szansa na dobrą żarówkę)
\(n = 4\) (liczba wybranych żarówek)
\(k = 0\) (szukamy najpierw braku sukcesów)
\(p = 0,05\) (szansa na wadliwą żarówkę)
\(q = 0,95\) (szansa na dobrą żarówkę)
Obliczenia
Krok 1: Szansa na 0 wadliwych żarówek ze wzór Bernoulliego:
\(P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)
\(P_4(0) = \binom{4}{0} \cdot (0,05)^0 \cdot (0,95)^4\)
\(P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,8145 = 0,8145\)
Krok 2: Szansa na zdarzenie przeciwne (co najmniej jedna):
\(P(A) = 1 - P_4(0)\)
\(P(A) = 1 - 0,8145 = \mathbf{0,1855}\)
Krok 1: Szansa na 0 wadliwych żarówek ze wzór Bernoulliego:
\(P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)
\(P_4(0) = \binom{4}{0} \cdot (0,05)^0 \cdot (0,95)^4\)
\(P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,8145 = 0,8145\)
Krok 2: Szansa na zdarzenie przeciwne (co najmniej jedna):
\(P(A) = 1 - P_4(0)\)
\(P(A) = 1 - 0,8145 = \mathbf{0,1855}\)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna żarówka będzie wadliwa, wynosi 0,1855.