WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Aksjomatyczna (definicja prawdopodobieństwa)

Niech \(\Omega\) będzie sończonym zbiorem zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu \(A\subset \Omega\) przyporządkowuje liczbę \(P(A)\) spełniającą następujące warunki:

\(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\) dla każdego zdarzenia \(A \subset \Omega\)
\(P(\emptyset) = 0\) oraz \(P(\Omega) = 1\)
Jeśli zdarzenia \(A\) i \(B\) są rozłączne (\(A \cap B = \emptyset\)), to: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Ważna uwaga:
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie pokazuje jak wyznaczać prawdopodobieństwo zdarzeń, do tego możemy posłużyć się klasyczną definicją prawdopodobieństwa, która wynika wprost z powyższych aksjomatów.

Warto wiedzieć:
Trzeci aksjomat można rozszerzyć na dowolną, skończoną (lub przeliczalną) liczbę zdarzeń. Jeśli zdarzenia \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n\) są parami rozłączne, to prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie ich prawdopodobieństw: \[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)\]

Przykład 1 (Zdarzenia rozłączne)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, \dots, 20\}\) losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest wielokrotnością 8 (zdarzenie \(A\)) lub liczbą pierwszą mniejszą od 10 (zdarzenie \(B\)).

\(|\Omega| = 20\)
\(A = \{8, 16\}, \,\, |A| = 2\)
\(B = \{2, 3, 5, 7\}, \,\, |B| = 4\)
Zbiory są rozłączne (\(A \cap B = \emptyset\)), więc stosujemy sumę prawdopodobieństw:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{20} + \frac{4}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

Własność (Zdarzenie przeciwne)

Dla dowolnego zdarzenia \(A \subset \Omega\), prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego \(A'\) wyraża się wzorem: \[P(A') = 1 - P(A)\]

Przykład 2 (Zdarzenie przeciwne)

Rzucamy 3 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie przynajmniej jeden orzeł.

\(|\Omega| = 2^3 = 8\)
Zdarzenie przeciwne \(A'\): same reszki \(\{(R,R,R)\}\), czyli \(|A'| = 1\).
\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\]

Twierdzenie (Prawdopodobieństwo sumy i różnicy)

Dla dowolnych zdarzeń \(A, B \subset \Omega\) prawdziwe są wzory: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \[P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)\]

Przykład 3 (Suma zdarzeń nierozłącznych)

Dane są prawdopodobieństwa: \(P(A) = 0,5\), \(P(B) = 0,4\) oraz \(P(A \cap B) = 0,2\). Oblicz prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń.

Korzystamy ze wzoru: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\[P(A \cup B) = 0,5 + 0,4 - 0,2 = 0,7\]

Przykład 4 (Różnica zdarzeń)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zajdzie zdarzenie \(A\), ale nie zajdzie zdarzenie \(B\) (różnica \(A \setminus B\)), wiedząc, że \(P(A) = \frac{2}{3}\) oraz \(P(A \cap B) = \frac{1}{4}\).

Korzystamy ze wzoru: \(P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)\)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[P(A \setminus B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\]

Uwaga: Zwróć uwagę, że we wzorze na różnicę \(P(A \setminus B)\) odejmujemy tylko część wspólną, a nie całe prawdopodobieństwo \(P(B)\). Wynika to z faktu, że ze zbioru \(A\) możemy usunąć tylko te elementy, które w nim faktycznie są (czyli właśnie iloczyn \(A \cap B\)).