WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 1
Mamy dwie urny: w pierwszej (\(U_1\)) są 2 kule białe i 3 czarne, w drugiej (\(U_2\)) są 4 kule białe i 1 czarna. Rzucamy kostką: jeśli wypadnie "szóstka", losujemy kulę z urny \(U_1\), w przeciwnym razie z urny \(U_2\). Wyciągnięto kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z pierwszej urny?
Analiza i oznaczenia (Wybór urny a kolor kuli)
Znamy wynik losowania (kula biała) i szukamy prawdopodobieństwa, że zdarzenie to nastąpiło w wyniku rzutu "szóstki" (wybór \(U_1\)).\(H_1\) – wybór urny \(U_1\) (wypadła szóstka), \(P(H_1) = \frac{1}{6}\)
\(H_2\) – wybór urny \(U_2\) (nie wypadła szóstka), \(P(H_2) = \frac{5}{6}\)
\(A\) – wylosowano kulę białą.
Krok 1: Prawdopodobieństwa warunkowe (skład urn)
- Szansa na białą w \(U_1\): \(P(A|H_1) = \frac{2}{5} = 0,4\)
- Szansa na białą w \(U_2\): \(P(A|H_2) = \frac{4}{5} = 0,8\)
Krok 2: Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa kuli białej \(P(A)\)
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
\(P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)\)
\(P(A) = 0,4 \cdot \frac{1}{6} + 0,8 \cdot \frac{5}{6} = \frac{0,4}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4,4}{6} \approx \mathbf{0,7333}\)
Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Obliczamy szansę, że biała kula pochodzi z rzadziej wybieranej urny \(U_1\):
\(P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0,4 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{4,4}{6}} = \frac{0,4}{4,4} = \frac{4}{44} = \mathbf{\frac{1}{11} \approx 0,0909}\)
Interpretacja wyniku
Zauważ, że choć w pierwszej urnie są kule białe, to szansa, że biała kula pochodzi właśnie stamtąd, jest bardzo mała (ok. 9%).
Wynika to z dwóch powodów: po pierwsze, urnę \(U_1\) wybieramy znacznie rzadziej (\(1/6\)), a po drugie, urna \(U_2\) jest o wiele "bogatsza" w kule białe. Te dwa czynniki sprawiają, że widząc białą kulę, możemy być niemal pewni, że pochodzi ona z drugiej urny.
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że kula pochodzi z pierwszej urny, wynosi 1/11 (ok. 0,0909).