WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 2
W I urnie są 3 kule czarne i 1 biała. W II urnie są 2 kule czarne i 2 białe. W III urnie jest 6 kul czarnych i 2 białe. Rzucamy kostką:
- Wypadnie 6 \(\implies\) losujemy z I urny.
- Wypadnie 4 lub 5 \(\implies\) losujemy z II urny.
- Wypadnie 1, 2 lub 3 \(\implies\) losujemy z III urny.
Oblicz prawdopodobieństwo, że kula pochodzi z I urny, jeśli wiadomo, że jest czarna.
Analiza i oznaczenia (Trzy hipotezy)
Mamy trzy możliwe scenariusze (wybór urny) oraz zdarzenie główne (wylosowanie kuli czarnej).\(H_1\) – wybór I urny (wypadła szóstka): \(P(H_1) = \frac{1}{6}\)
\(H_2\) – wybór II urny (wypadła czwórka lub piątka): \(P(H_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
\(H_3\) – wybór III urny (wypadła jedynka, dwójka lub trójka): \(P(H_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(A\) – wylosowano kulę czarną.
Krok 1: Prawdopodobieństwa warunkowe (czarne kule w urnach)
- W I urnie (3C, 1B): \(P(A|H_1) = \frac{3}{4} = 0,75\)
- W II urnie (2C, 2B): \(P(A|H_2) = \frac{2}{4} = 0,5\)
- W III urnie (6C, 2B): \(P(A|H_3) = \frac{6}{8} = 0,75\)
Krok 2: Obliczenie prawdopodobieństwa całkowitego \(P(A)\)
Obliczamy łączną szansę na wylosowanie kuli czarnej:
\(P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2) + P(A|H_3)P(H_3)\)
\(P(A) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{6} + \frac{6}{8} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} + \frac{9}{24} = \mathbf{\frac{16}{24} = \frac{2}{3}}\)
Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Szukamy prawdopodobieństwa, że czarna kula pochodzi z I urny (\(H_1\)):
\(P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{16}{24}} = \mathbf{\frac{3}{16} = 0,1875}\)
Interpretacja wyniku
Choć I urna ma taką samą "gęstość" czarnych kul jak III urna (obie 75%), to prawdopodobieństwo, że to właśnie z niej pochodzi kula, jest niskie (poniżej 19%). Decyduje o tym rzut kostką – szansa na wybranie I urny to tylko 1/6, podczas gdy III urnę wybieramy aż w połowie przypadków (3/6).
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że czarna kula pochodzi z I urny, wynosi 3/16 (0,1875).