Wzór Bayesa pozwala nam „odwrócić” sytuację. Nie pytamy o to, co się stanie, ale o to, co było przyczyną zdarzenia, które już miało miejsce.
Definicja (Twierdzenie Bayesa)
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, \dots, B_n\) stanowią układ zupełny zdarzeń, a \(A\) jest zdarzeniem, które zaszło, to prawdopodobieństwo, że zaszło ono w wyniku "scenariusza" \(B_i\), wynosi:
Gdzie \(P(A)\) to prawdopodobieństwo całkowite.
Rozpisując mianownik \(P(A)\) przy pomocy wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy pełną postać twierdzenia:
\[\displaystyle P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \dots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)}\]
Przykład (Model Pizzy - Ciąg dalszy)
Wracamy do naszej pizzy: \(B_1\) (60% pizzy, mało salami), \(B_2\) (40% pizzy, dużo salami). Wiemy już, że \(P(A) = 0,38\).
Zadanie: Wylosowałeś punkt i widzisz na nim salami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten punkt pochodzi z mniejszego kawałka (\(B_2\))?
Analiza i obliczenia
Znamy już dane z poprzedniego zadania:
\(P(B_2) = 0,40\) (szansa na mniejszy kawałek)
\(P(A|B_2) = 0,80\) (gęstość salami na nim)
\(P(A) = 0,38\) (całkowite salami na pizzy)
Stosujemy wzór Bayesa dla \(B_2\):
\[P(B_2|A) = \frac{P(A|B_2) \cdot P(B_2)}{P(A)} = \frac{0,80 \cdot 0,40}{0,38} = \frac{0,32}{0,38} \approx \mathbf{0,84}\]
Interpretacja wyniku
Otrzymaliśmy wynik ok. 84%. To logiczne! Choć kawałek \(B_2\) był mniejszy, to miał tak dużo salami, że jeśli już na nie trafiliśmy, to jest bardzo prawdopodobne, że pochodzi ono właśnie z tej części.
Interpretacja intuicyjna
Wyobraź sobie drzewo stochastyczne. Prawdopodobieństwo całkowite \(P(A)\) to suma wszystkich końcowych gałęzi prowadzących do sukcesu. Wzór Bayesa to ułamek, w którym w liczniku mamy tylko tę jedną konkretną ścieżkę (gałąź), która nas interesuje, a w mianowniku sumę wszystkich ścieżek prowadzących do sukcesu.
Kiedy stosujemy?
Gdy wiemy, że zdarzenie końcowe już zaszło (np. "wylosowano kulę czarną", "test wyszedł pozytywny").
Gdy szukamy prawdopodobieństwa przyczyny (z której urny, z której maszyny).
Gdy chcemy zaktualizować wiedzę o hipotezach na podstawie nowego faktu.
WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 1
Mamy dwie urny: w pierwszej (\(U_1\)) są 2 kule białe i 3 czarne, w drugiej (\(U_2\)) są 4 kule białe i 1 czarna. Rzucamy kostką: jeśli wypadnie "szóstka", losujemy kulę z urny \(U_1\), w przeciwnym razie z urny \(U_2\). Wyciągnięto kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z pierwszej urny?
W I urnie są 3 kule czarne i 1 biała. W II urnie są 2 kule czarne i 2 białe. W III urnie jest 6 kul czarnych i 2 białe. Rzucamy kostką:
- Wypadnie 6 \(\implies\) losujemy z I urny.
- Wypadnie 4 lub 5 \(\implies\) losujemy z II urny.
- Wypadnie 1, 2 lub 3 \(\implies\) losujemy z III urny.
Oblicz prawdopodobieństwo, że kula pochodzi z I urny, jeśli wiadomo, że jest czarna.
W urnie I są 3 kule białe i 2 czarne, a w urnie II jest 7 kul białych i 4 czarne. Z urny I przekładamy losową kulę do urny II, a następnie losujemy kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przełożono kulę czarną, jeśli z urny II wylosowano kulę białą.
W fabryce są trzy maszyny: \(M_1, M_2, M_3\), które dostarczają odpowiednio 20%, 30% i 50% całej produkcji. Wadliwość maszyn wynosi odpowiednio: 5% dla \(M_1\), 4% dla \(M_2\) oraz 2% dla \(M_3\). Wybrano losowo jeden produkt i okazał się on wadliwy. Oblicz prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany przez maszynę \(M_1\).
Choroba \(X\) występuje w 1% populacji. Test opracowany do jej wykrywania daje wynik pozytywny u 95% chorych oraz u 2% zdrowych (wynik fałszywie dodatni). Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba, u której test dał wynik pozytywny, jest rzeczywiście chora.
W skrzynce mailowej 70% wiadomości to spam. Filtr antyspamowy rozpoznaje spam z dokładnością 90% (wynik pozytywny). Jednocześnie filtr ten myli się w 5% przypadków, uznając wartościową wiadomość za spam (wynik fałszywie dodatni). Jeśli filtr oznaczył wiadomość jako spam, jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jest to spam?
