WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 6
W skrzynce mailowej 70% wiadomości to spam. Filtr antyspamowy rozpoznaje spam z dokładnością 90% (wynik pozytywny). Jednocześnie filtr ten myli się w 5% przypadków, uznając wartościową wiadomość za spam (wynik fałszywie dodatni). Jeśli filtr oznaczył wiadomość jako spam, jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jest to spam?
Analiza i oznaczenia (Wiarygodność filtra)
Mamy do czynienia z klasycznym problemem "odwróconego" prawdopodobieństwa. Znamy reakcję filtra i pytamy o faktyczną naturę wiadomości. Definiujemy hipotezy:\(H_1\) – wiadomość jest spamem, \(P(H_1) = 0,70\)
\(H_2\) – wiadomość jest wartościowa (ham), \(P(H_2) = 0,30\)
\(A\) – filtr oznaczył wiadomość jako spam.
Krok 1: Skuteczność warunkowa filtra
Zapisujemy, jak filtr reaguje na oba rodzaje wiadomości:
- Rozpoznanie spamu: \(P(A|H_1) = 0,90\)
- Błąd (fałszywy spam): \(P(A|H_2) = 0,05\)
Krok 2: Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa oznaczenia za spam \(P(A)\)
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
\(P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)\)
\(P(A) = 0,90 \cdot 0,70 + 0,05 \cdot 0,30 = 0,63 + 0,015 = \mathbf{0,645}\)
Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Obliczamy szansę, że wiadomość oznaczona jako spam jest nim faktycznie:
\(P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0,63}{0,645} = \frac{630}{645} \approx \mathbf{0,9767}\)
Interpretacja wyniku
Dzięki temu, że w skrzynce dominuje spam (70%), wiarygodność oznaczenia filtra jest bardzo wysoka i wynosi ponad 97,6%.
Gdyby sytuacja była odwrotna i spam stanowiłby tylko 1% wiadomości, to mimo tej samej skuteczności filtra (90%), większość wiadomości w folderze "Spam" byłaby w rzeczywistości ważnymi mailami!
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że wiadomość oznaczona jako spam jest nim w rzeczywistości, wynosi około 0,9767.