WZÓR BAYESA - ZADANIA

Zadanie 5

Choroba \(X\) występuje w 1% populacji. Test opracowany do jej wykrywania daje wynik pozytywny u 95% chorych oraz u 2% zdrowych (wynik fałszywie dodatni). Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba, u której test dał wynik pozytywny, jest rzeczywiście chora.

Analiza i oznaczenia (Odwracanie prawdopodobieństwa)

Mamy do czynienia z sytuacją, w której znamy skutek (wynik pozytywny), a pytamy o przyczynę (bycie chorym). Definiujemy hipotezy i zdarzenie główne:

\(H_1\) – osoba jest chora, \(P(H_1) = 0,01\)
\(H_2\) – osoba jest zdrowa, \(P(H_2) = 0,99\)
\(A\) – test dał wynik pozytywny.

Krok 1: Prawdopodobieństwa warunkowe (wiarygodność testu)
- Szansa na wynik pozytywny u chorego: \(P(A|H_1) = 0,95\)
- Szansa na wynik pozytywny u zdrowego: \(P(A|H_2) = 0,02\)

Krok 2: Obliczenie prawdopodobieństwa całkowitego \(P(A)\)
Najpierw sprawdzamy, ile w ogóle będzie wyników pozytywnych w całej populacji:
\(P(A) = 0,95 \cdot 0,01 + 0,02 \cdot 0,99 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293\)

Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Obliczamy prawdopodobieństwo, że za wynikiem pozytywnym stoi faktyczna choroba:
\(P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0,0095}{0,0293} \approx \mathbf{0,3242}\)

Uwagi (Paradoks Bayesa)

Zauważ, że mimo wysokiej skuteczności testu (95%), osoba z wynikiem pozytywnym ma tylko ok. 32% szans na bycie chorą!
Dzieje się tak dlatego, że choroba jest rzadka, a liczba osób zdrowych z wynikiem fałszywie dodatnim (\(0,0198\)) jest ponad dwukrotnie większa niż liczba osób faktycznie chorych z wynikiem pozytywnym (\(0,0095\)).

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem pozytywnym jest chora, wynosi około 0,324.