NIERÓWNOŚCI TRÓJKĄTA

Twierdzenie (nierówności trójkąta)

W dowolnym trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest zawsze większa od długości trzeciego boku.

Wniosek
Z odcinków o długościach \(a,b,c\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy: \[a + b > c\]\[ a + c > b\]\[ b + c > a\]

Dowód twierdzenia

Założenie:
ABC - dowolny trójkąt
Długości boków: \(a, b, c\)
Teza:
\(a + b > c, \; a + c > b, \; b + c > a\)

Dowód
Załóżmy, że \(a + b \leq c\). Wówczas odcinki \(a, b, c\) nie mogłyby utworzyć trójkąta, ponieważ długość dwóch krótszych boków nie wystarczałaby do zamknięcia figury.
Analogicznie, inne przypadki (\(a + c \leq b\) oraz \(b + c \leq a\)) również prowadzą do sprzeczności z definicją trójkąta.

Wnioskujemy, że w każdym trójkącie spełnione są wszystkie trzy nierówności:
\(a + b > c, \; a + c > b, \; b + c > a\)

co kończy dowód.