PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW I ICH SKALA

Mówiąc, że dwie figury są podobne, mamy na myśli, że mają ten sam kształt, lecz niekoniecznie tę samą wielkość. Jedna z figur może być powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej.

Definicja (trójkąty podobne)

Dwa trójkąty nazwiemy trójkątami podobnymi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki są proporcjonalne.

Zapis symboliczny:
Trójkąty \(ABC\); \(A_1B_1C_1\) są podobne, co oznaczamy \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \), jeśli:
\( \sphericalangle A = \sphericalangle A_1 \), \( \sphericalangle B = \sphericalangle B_1 \), \( \sphericalangle C = \sphericalangle C_1 \),
oraz
\( \dfrac{|AB|}{|A_1B_1|} = \dfrac{|BC|}{|B_1C_1|} = \dfrac{|AC|}{|A_1C_1|} \).

Nie trzeba sprawdzać wszystkich proporcji i kątów, aby wykazać podobieństwo. Istnieją twierdzenia, zwane cechami podobieństwa, które pozwalają szybciej ustalić, że dwa trójkąty są podobne.

Twierdzenie (1 cecha podobieństwa trójkątów Bok-Bok-Bok)

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Podobieństwo trójkątów - cecha bok-bok-bok

Jeżeli: \( \dfrac{|AB|}{|A_1B_1|} = \dfrac{|BC|}{|B_1C_1|} = \dfrac{|AC|}{|A_1C_1|} \), to \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \)

Twierdzenie (2 cecha podobieństwa trójkątów Bok-Kąt-Bok)

Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.

Podobieństwo trójkątów - cecha bok-kąt-bok

Jeżeli: \( \dfrac{|AC|}{|A_1C_1|} = \dfrac{|CB|}{|C_1B_1|} \) oraz \( \sphericalangle C = \sphericalangle C_1 \), to \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \)

Twierdzenie (3 cecha podobieństwa trójkątów - Kąt-Kąt-Kąt)

Jeśli kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Podobieństwo trójkątów - cecha kąt-kąt-kąt

Jeżeli: \( \sphericalangle A = \sphericalangle A_1 \), \( \sphericalangle C = \sphericalangle C_1 \), to \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \)

Skala podobieństwa trójkątów

Jeśli dwa trójkąty są podobne, to stosunek długości odpowiadających sobie boków jest stały. Ten stosunek nazywamy skalą podobieństwa.

Skala podobieństwa to liczba, która mówi, ile razy jeden trójkąt jest większy lub mniejszy od drugiego.

Oznaczamy ją jako:
\[ k = \dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} \] gdzie:
\( a, b, c \) to długości boków pierwszego trójkąta,
\( a', b', c' \) to długości odpowiadających im boków drugiego trójkąta.

Jeśli \( k > 1 \), to drugi trójkąt jest większy.
Jeśli \( 0 \lt k \lt 1 \), to drugi trójkąt jest mniejszy.
Jeśli \( k = 1 \), to trójkąty są przystające.

Skala podobieństwa wpływa także na inne wielkości geometryczne:

Pola podobnych trójkątów mają się do siebie jak kwadraty skali podobieństwa, czyli: \( \dfrac{P'}{P} = k^2 \).

Obwody podobnych trójkątów mają się do siebie jak skala podobieństwa, czyli: \( \dfrac{O'}{O} = k \).