TWIERDZENIE PITAGORASA

Twierdzenie Pitagorasa jest prawdopodobnie najbardziej znanym twierdzeniem w geometrii, a być może w całej matematyce.

Twierdzenie (Pitagorasa)

W każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[\large a^2 + b^2 = c^2 \]

Przykład

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(3\) i \(4\). Obliczmy długość przeciwprostokątnej:

Twierdzenie Pitagorasa - trójkąt prostokątny o bokach 3cm , 4cm, 5cm

\[ 3^2 + 4^2 = c^2 \] \[ 9 + 16 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \] \[ c = 5 \]

Otrzymaliśmy trójkąt o bokach długości \( (3,4,5) \).
Jest to to przykład liczb pitagorejskich lub trójek pitagorejskich , czyli liczb naturalnych spełniających twierdzenie Pitagorasa.
Oto kilka innych przykładów trójek pitagorejskich: \[ (5,12,13); (6,8,10); (7,34,35); (8,15,17);... \]

Twierdzenie (odwrotne do twierdzenia Pitagorasa)

Jeśli dla trójkąta o bokach \( a, b, c \) zachodzi równość \( a^2 + b^2 = c^2 \), to trójkąt ten jest prostokątny.

Przykład

Rozważmy trójkąt o bokach \(5, 12, 13\). Sprawdźmy, czy jest prostokątny:

\[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \] Więc trójkąt jest prostokątny

Twierdzenie (o kącie w trójkącie względem jego boków)

Jeśli długość boków trójkąta oznaczymy literami \( a, b, c \) w taki sposób, że \( a \leqslant b \leqslant c \) oraz zachodzi:

Jeśli \( a^2 + b^2 \lt c^2 \), to trójkąt jest rozwartokątny.

Jeśli \( a^2 + b^2 > c^2 \), to trójkąt jest ostrokątny.

Przykład

Rozważmy trójkąt o bokach \(7, 9, 12\):

\[ 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130 \] \[ 12^2 = 144 \] \[ 130 \lt 144 \] Co oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny.