PROSTA EULERA

W każdym trójkącie istnieje wyjątkowa prosta, zwana prostą Eulera, na której leżą trzy ważne punkty: ortocentrum, środek ciężkości oraz środek okręgu opisanego.

Twierdzenie (ptosta Eulera)

Prosta Eulera to prosta przechodząca przez trzy charakterystyczne punkty trójkąta:

ortocentrum (punkt przecięcia wysokości),

środek ciężkości (punkt przecięcia środkowych)

środek okręgu opisanego (punkt przecięcia symetral boków).

Oznaczenia najczęściej stosowane w geometrii:

H – ortocentrum trójkąta

S – środek ciężkości trójkąta

O – środek okręgu opisanego na trójkącie

Punkty \( O \), \( S \), \( H \) leżą na jednej prostej – prostej Eulera.

Ponadto zachodzi: \(|HS|=2|SO|\)

Wysokości (trójkąta)

Środkowe boków (trójkąta)

Symetralne boków (trójkąta)

Prosta Eulera (trójkąta)

Własności prostej Eulera

Prosta Eulera występuje we wszystkich trójkątach oprócz równobocznych.

Środek ciężkości \(S\) dzieli odcinek \(HO\) w stosunku \(2:1\), licząc od ortocentrum \(H\).

Dla trójkąta prostokątnego: ortocentrum to wierzchołek kąta prostego, a środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej. Te punkty, wraz ze środkiem ciężkości, tworzą współliniową Prostą Eulera

W trójkącie równobocznym punkty \(H\), \(S\) i \(O\) pokrywają się — prosta Eulera w tym przypadku redukuje się do pojedynczego punktu.