ŚRODKOWE W TRÓJKĄCIE

Definicja środkowej

Środkowa w trójkącie to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

Twierdzenie (o środkowych w trójkącie)

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta lub centroidem.
Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka trójkąta.

Ilustracja geometryczna powyższego twierdzenia

\(ABC\) – dowolny trójkąt
Środkowe \(AA_1, BB_1, CC_1\) przecinają się w punkcie \(S\).

Graficzna ilustracja środkowych w trójkącie

Punkt \(S\) dzieli każdą środkową w stosunku \(2:1\):
\(|AS| : |SA_1| = 2 : 1\)
\(|BS| : |SB_1| = 2 : 1\)
\(|CS| : |SC_1| = 2 : 1\)

Współrzędne środka ciężkości w geometrii analitycznej

Jeśli wierzchołki trójkąta \(ABC\) mają współrzędne: \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\), to współrzędne środka ciężkości \(S(x_s, y_s)\) oblicza się ze wzoru:

środkowych trójkąta w układzie współrzędnych

\[ x_s = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_s = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \]

Środek ciężkości jest średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków.