TWIERDZENIE COSINUSÓW

Twierdzenie cosinusów pozwala wyznaczyć długość boku trójkąta, gdy znamy długości dwóch innych boków oraz miarę kąta między nimi.

Twierdzenie (cosinusów)

W dowolnym trójkącie \(ABC\), dla boku \(a = |BC|\), \(b = |AC|\), \(c = |AB|\) zachodzi:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos \beta \)
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \)

Ilustracja do twierdzenia cosinusów

\( a, b, c \) – długości boków trójkąta,
\( \alpha, \beta, \gamma \) – kąty leżące naprzeciwko odpowiednich boków.

Uwaga

Jeśli trójkąt ma kąt prosty, to twierdzenie cosinusów, zastosowane do obliczenia boku leżącego naprzeciw tego kąta (czyli przeciwprostokątnej), upraszcza się do twierdzenia Pitagorasa. Dzieje się tak, ponieważ \( \cos 90^\circ = 0 \), więc wzór:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \)
przy kącie \( \gamma = 90^\circ \) przyjmuje postać:
\( c^2 = a^2 + b^2 \).

Przykład

W trójkącie \(ABC\), dane są: \(b = 2\sqrt3\), \(c = 4\sqrt3\), \( \alpha = 60^\circ \), oblicz długość boku \(a\)

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \) Stosujemy twierdzenia cosinusów dla kąta \(\alpha\)

\( a^2 = {2\sqrt3}^2 + {4\sqrt3}^2 - 2 \cdot 2\sqrt3 \cdot 4\sqrt3 \cdot \cos 60^\circ \) Podstawiamy dane liczbowe, \(\cos60^\circ=\frac12\)

\( a^2 = 12 + 48 - 48\cdot \frac{1}{2} = 60 - 24 = 36 \) Obliczamy wartości wyrażeń i redukujemy

\( a = \sqrt{36} =6 \) Wyciągamy pierwiastek i otrzymujemy wynik