Twierdzenie (sinusów)
W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}=2R
\]
Przykład
W trójkącie \(ABC\) dane są kąty: \( \alpha = 70^\circ \), \( \beta = 65^\circ \), a długość boku \( c = |AB| = \sqrt{8} \). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
\(\gamma = 180^\circ - 70^\circ - 65^\circ = 45^\circ\)
Obliczamy miarę trzeciego kąta trójkąta
\(\dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R \)
Korzystamy z twierdzenia sinusów
\(2R = \dfrac{\sqrt{8}}{\sin 45^\circ} \)
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\(2R = \frac{\sqrt{8}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2 \cdot \sqrt{4}=4 \)
\(R = 2\)
Szukany promień okręgu
