WYSOKOŚCI W TRÓJKĄCIE

Definicja (wysokości w trójkącie)

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i prostopadły do tego boku.

Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

Wysokości w trójącie ostrokątym z zaznaczonym ortocentrum

Wysokości w trójącie prostokątnym z zaznaczonym ortocentrum

Wysokości w trójącie rozwartokątnym z zaznaczonym ortocentrum

Twierdzenie (o wysokościach w trójkącie)

W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum (niebieski punkt na powyższych rysunkach).

Ortocentrum znajduje się:

1) Wewnątrz trójkąta ostrokątnego,
2) Na wierzchołku kąta prostego w trójkącie prostokątnym,
3) Poza trójkątem w trójkącie rozwartokątnym.

Cechy wysokości w wybranych trójkątach

1) Trójkąt równoramienny

Wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy.

2) Trójkąt równoboczny

Wszystkie wysokości są równe i są określone wzorem: \[\displaystyle h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

gdzie \(a\) to długość boku trójkąta.

3) Trójkąt prostokątny
Wysokość \(h\) poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość \(c1\) i \(c2\), dla których zachodzi zależność: \[\displaystyle h=\sqrt{c_1c_2}\]

Dodatkowo, wysokość dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne do niego: \[ \Delta ADC \sim \Delta ABC \sim \Delta CDB \]

4) Trójkąt prostokątny równoramienny:

W trójkącie prostokątnym równoramiennym, \(ABC\) gdzie \(|AC|=|BC|\) \[|AD|=|BD|=|CD|= h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Wysokości w trójącie trostokątnym równoramiennym

gdzie \(\alpha =\beta = 45^o\)

Jest to oczywiste, gdyż wysokość \(h\) w trójkącie jest równa połowie długości przekątnej kwadratu o boku \(a\), której długość wynosi \(a\sqrt{2}\).
Trójkąt prostokątny równoramienny najłatwiej uzyskać, dzieląc kwadrat po przekątnej.

→ dalej Dwusieczne w trójkącie →

← wstecz Zależności między bokami i kątami ←