FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE PODWOJONEGO KĄTA
Twierdzenie (Alternatywne postacie wzoru dla cos 2α
\[\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\] \[\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\]Przykład
Wiedząc, że \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym, oblicz wartość wyrażenia \(\sin 2\alpha\)
Wiemy, że: \[\sin2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \] i, że \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Odliczmy \(\cos\alpha \) korzystając z jedynki trygonometrycznej \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] \[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \] \(\alpha \) jest kątem ostrym dlatego cosinus jest dodatni \[ \cos\alpha = \frac{2}{5} \] Podstawiamy do wzoru: \(\sin2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \) \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]Wyprowadzenie wzorów.
1. Wyprowadzenie wzoru na \(\sin 2\alpha \)
Korzystamy z tożsamości:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\] Do wzoru w miejsce \((\beta)\) wstawiamy \((\alpha)\) \[\sin( \alpha+ \alpha) = \sin \alpha \cos\alpha + \cos \alpha \sin\alpha\] co daje \[\sin2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \]2. Wyprowadzenie wzoru na \(\cos 2\alpha \)
Korzystamy z udowodnionej tożsamości:
\[\cos\left ( \alpha + \beta\right ) = \cos\alpha\cos \beta + \sin\alpha\sin \beta\] Do wzoru w miejsce \((\beta)\) wstawiamy \((\alpha)\) \[\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos \alpha + \sin\alpha\sin \alpha\] co daje \[\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]3. Wyprowadzenie wzoru na \(\text{tg}2\alpha\)
Korzystamy z tożsamości tangensa:
\[\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta}\] Do wzoru w miejsce \((\beta)\) wstawiamy \((\alpha)\) \[\text{tg}(\alpha + \alpha) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \alpha}\] co daje \[ \text{tg}2\,\alpha = \frac{2\,\text{tg}\,\alpha }{1 - \text{tg}^2\,\alpha} \]