SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Przykład
Oblicz sumę funkcji \( \sin 40^\circ + \sin 20^\circ \).
Zastosujemy wzór:
\[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \]Podstawiamy \( \alpha = 40^\circ \) oraz \( \beta = 20^\circ \):
\[ \sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \cos \frac{40^\circ - 20^\circ}{2} \] \[ = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ \]Podstawiamy wartości:
\[ = 2 \cdot \frac12 \cdot \cos 10^\circ \] \[ = \cos 10^\circ \]Wyprowadzenie wzorów.
1. Wyprowadzenie wzoru na \(\sin \alpha + \sin \beta\)
Niech dane będą dwa kąty \(x\) i \(y\) takie aby zachodziło:
\[x+y=\alpha \quad \quad (*)\]
\[x-y=\beta \quad\quad\quad\quad \]
Traktując te równania jako układ równań i rozwiązując je przez dodanie i odejmowanie stronami otrzymamy:
\[x=\frac{\alpha+\beta}{2} \quad \quad (**)\]
\[y=\frac{\alpha-\beta}{2} \quad\quad\quad\quad\]
Wyprowadzamy wzór \[\sin\alpha+\sin\beta=\]
podstawiamy \(*\)
\[\sin\alpha+\sin\beta=\sin(x+y)+\sin(x-y)=\]
korzystamy ze wzorów:
\(\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\)
\(\sin(x - y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y \)
\[\color{blue}{\sin x\cos y}+\cos x \sin y+\color{blue}{\sin x \cos y}-\cos x \sin y=\]
upraszczamy i podstawiamy \(**\)
\[2\sin x\cos y= 2 \sin\left ( \frac{\alpha+\beta}{2} \right )\cos\left ( \frac{\alpha-\beta}{2} \right )\]
Analogicznie wyprowadza się pozostałe wzory.
SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH - ZADANIA
Zadanie 2
Przedstaw w postaci iloczynu wyrażenie:
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) \)