JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA I WZORY NA TANGENS I COTANGENS - ZADANIA
Zadanie 1
Wiedząc, że \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem II ćwiartki, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Krok 1: Obliczamy \(\sin \alpha\) korzystając z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
Podstawiamy \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\):
\(\sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1\)
Obliczamy \(\sin^2 \alpha\):
\(\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)
\(\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)
Ponieważ \(\alpha\) leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, mamy:
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
Krok 2: Obliczamy \(\text{tg} \alpha\):
\(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\)
\(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\)
Krok 3: Obliczamy \(\text{ctg} \alpha\):
\(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\)
\(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\)
Odpowiedź
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \text{tg} \alpha = -\frac{3}{4}, \quad \text{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}\)