JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA I WZORY NA TANGENS I COTANGENS

Twierdzenie (jedynka trygonometryczna)

Dla dowolnego kąta \(\alpha\) zachodzi wzór: \[\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1 \]

Powyższą równość nazywamy jedynką trygonometryczną

Zapis \(\sin^2 \alpha\) oznacza \((\sin \alpha)^2\) podobnie \(\cos^2 \alpha\) oznacza \((\cos \alpha)^2\)

Dowód jedynki trygonometrycznej w trójkącie prostokątnym dla kąta ostrego.

Rozważmy dowolny trójkąt prostokątny i oznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha\).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, mamy:

\[\sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \quad \text{oraz} \quad \quad \cos \alpha=\frac{b}{c}\] Dodając kwadraty obu równań, otrzymujemy: \[\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha= \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2 + b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Wstawiając to do wcześniejszego równania, otrzymujemy: \[\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha= \frac{a^2+b^2}{c^2} =\frac{c^2}{c^2}=1\] To kończy dowód.

Twierdzenie (wzory na tangens i cotangens)

\[ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] \[ \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 \] Wzory są poprawne, gdy mianowniki są różne od zera.

Wyprowadzenie wzorów

Rozważmy dowolny trójkąt prostokątny i oznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha\).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, mamy:

\[\sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \quad \text{oraz} \quad \quad \cos \alpha=\frac{b}{c}\] \[\text{tg}\, \alpha=\frac{a}{b} \quad \quad \text{oraz} \quad \quad \text{ctg}\, \alpha=\frac{b}{a}\]

Pierwszy wzór: \[\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\text{tg}\,\alpha\]

Drugi wzór: \[\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\text{ctg}\,\alpha\]

Trzeci wzór: \[\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} =1\]

Znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, można przy użyciu powyższych wzorów wyznaczyć pozostałe funkcje trygonometryczne.

Przykład

Wiedząc, że \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Krok 1: Obliczamy \(\cos \alpha\) korzystając z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Podstawiamy \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)

Obliczamy \(\cos^2 \alpha\):
\(\frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \alpha = \frac{3}{4}\)

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\cos \alpha > 0\):
\(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Krok 2: Obliczamy \(\text{tg} \alpha\): \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Krok 3: Obliczamy \(\text{ctg} \alpha\): \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

Odpowiedź

\(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \text{ctg} \alpha = \sqrt{3},\)

JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA I WZORY NA TANGENS I COTANGENS - ZADANIA

Zadanie 1

Wiedząc, że \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem II ćwiartki, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie

Zadanie 2

Wiedząc, że \(\text{tg} \alpha = \frac{12}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem III ćwiartki, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie