JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA I WZORY NA TANGENS I COTANGENS - ZADANIA
Zadanie 2
Wiedząc, że \(\text{tg} \alpha = \frac{12}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem III ćwiartki, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązanie
1) Obliczamy \(\text{ctg}\, \alpha\) jako odwrotność tangensa.\(\text{ctg}\, \alpha = \frac{1}{\text{tg}\, \alpha} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}\)
Otrzymaliśmy \(\text{ctg}\, \alpha = \frac{5}{12}\).
2) Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Ponieważ \(\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), zapisujemy \(\sin \alpha = \text{tg}\, \alpha \cdot \cos \alpha\).
\(\sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot \cos \alpha\)
Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
\(\left(\frac{12}{5} \cdot \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\left(\frac{12}{5} \cdot \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\frac{144}{25} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\left(\frac{144}{25} + 1\right) \cos^2 \alpha = 1\)
\(\frac{169}{25} \cos^2 \alpha = 1\)
\(\frac{169}{25} \cos^2 \alpha = 1\)
\(\cos^2 \alpha = \frac{25}{169}\)
Ponieważ \(\alpha\) leży w III ćwiartce, \(\cos \alpha \lt 0\):
\(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\)
Ponieważ \(\alpha\) leży w III ćwiartce, \(\cos \alpha \lt 0\):
\(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\)
3) Obliczamy \(\sin \alpha\) ze wzoru \(\sin \alpha = \text{tg}\, \alpha \cdot \cos \alpha\):
\(\sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13}\)
\(\sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13}\)
Odpowiedź
\(\text{ctg}\, \alpha = \frac{5}{12}\), \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\), \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\).