Definicja (Równania trygonometryczne)
Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie w którym niewiadoma występuje tylko pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE TEORIA
Przykłady równań trygonometrycznych:
\[\cos=\frac12\] \[\sin^2x+\cos^2x=1\] \[3\text{tg}\,(2x-1)=\sqrt3\]
Przykłady równań które nie są równaniami trygonometrycznymi:
\[2x-\sin x=-1\] \[x^2-\cos2x=0\] \[\log_2x+\text{tg}\,x=5\]
Definicja (Rozwiązanie równania trygonometrycznego)
Rozwiązaniem równania trygonometrycznego nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających to równanie.
Wyprowadzone wzorów na rozwiąznia elementarnych równań trygonometrycznych
Uwaga poniżej \(\alpha \) jest ustalonym kątem więc: \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\text{tg}\,\alpha\), \(\text{ctg}\,\alpha\) są liczbami rzeczywistymi, niewiadomą jest \(x\)1) Rozwiązanie równania \[\sin x=\sin\alpha \] a) Opuszczając sinusy rozwiązaniem naszego równania jest oczywiście: \[x= \alpha\]
b) Stosując wzór redukcyjny: \(\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)\) i podstawiając go do równania \(\sin x=\sin\alpha \) otrzymujemy \(\sin x=\sin(\pi-\alpha) \) opuszczając sinusy otrzymujemy drugie rozwiązanie naszego równania: \[x= \pi-\alpha\] c) Funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie \(2\pi\) , zatem funkcja nie zmieni swojej wartości gdy kąt zwiększymy albo zmniejszymy o wielokrotność tego kąta, z czego wniosek, że pierwiastkami równania \(\sin x=\sin\alpha \) są: \[ x=\alpha +2k\pi\] lub \[ x=\pi-\alpha +2k\pi\] gdzie: \(k\in \mathbb{Z}\)1) Rozwiązanie równania \[\cos x=\cos\alpha \] Analogicznie rozumując jak przy funkcji sinus otrzymujemy
a) Opuszczając cosinusy otrzymujemy rozwiązanie: \[x= \alpha\] b) Stosując wzór redukcyjny: \(\cos\alpha=\cos(-\alpha)\) otrzymujemy drugie rozwiązanie naszego równania: \[x= -\alpha\] c) Funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie \(2\pi\) , zatem funkcja nie zmieni swojej wartości o wielokrotność tego kąta, zatem: \[ x=\alpha +2k\pi\] lub \[ x=-\alpha +2k\pi\] gdzie: \(k\in \mathbb{Z}\)1) Rozwiązanie równania \[\text{tg} x=\text{tg}\,\alpha \]
a) Opuszczając tangensy otrzymujemy rozwiązanie: \[x= \alpha\] b) Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie \(\pi\) , zatem rozwiązania naszego równania możemy zapisać: \[x= \alpha+ k\pi\] gdzie: \(k\in \mathbb{Z}\)1) Rozwiązanie równania \[\text{ctg} x=\text{ctg}\,\alpha \]
a) Opuszczając cotangensy otrzymujemy rozwiązanie: \[x= \alpha\] b) Funkcja cotangens jest funkcją okresową o okresie \(\pi\) , zatem rozwiązania naszego równania możemy zapisać: \[x= \alpha+ k\pi\] gdzie: \(k\in \mathbb{Z}\)
→ dalej Tabele rozwiązań równań trygonometrycznych →
← wstecz Wzory redukcyjne tabela←