RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 15
Rozwiąż równanie: \(\text{tg}(4x+\frac{\pi}{3})=\text{ctg}(2x)\) Rozwiązanie
\(\text{tg}(4x+\frac{\pi}{3})=\text{ctg}(2x)\)
Zamieniamy cotangens na tangens, korzystając z tożsamości \( \text{ctg}(2x) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2x) \)
\(\text{tg}(4x+\frac{\pi}{3})=\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2x)\)
\(\text{tg}(4x+\frac{\pi}{3})=\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2x)\)
Dla funkcji tangens zachodzi tożsamość \( \text{tg}\, \alpha = \text{tg}\, \beta \iff \alpha = \beta + k\pi \) gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)
\(4x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 2x + k\pi \)
\(4x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 2x + k\pi \)
Przekształcamy równanie, dodając \( 2x \) do obu stron:
\(6x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\(6x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
Odejmujemy \( \frac{\pi}{3} \) od obu stron:
\(6x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi\)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\(6x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k\pi\)
\(6x = \frac{\pi}{6} + k\pi\)
\(6x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi\)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\(6x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k\pi\)
\(6x = \frac{\pi}{6} + k\pi\)
Dzielimy obie strony przez 6:
\(x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6}\)
\(x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6}\)
Odpowiedź
\(x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6}\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)