RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie 14

Rozwiąż równanie: \(3-\sqrt2\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=2\)

Rozwiązanie

\(3-\sqrt2\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=2\)

Przekształcamy równanie
\(-\sqrt2\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=2-3\)
\(-\sqrt2\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=-1\,\,\,\,/:-\sqrt2\)
\(\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}\)
\(\sin\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\)

Podstawiamy \(\left (5x+\frac{\pi}{2}\right)=t\) do równania
\(\sin t = -\frac{\sqrt2}{2} \) \(\frac{\sqrt2}{2} =\sin\frac{\pi}{4} \)
\(\sin t = -\sin\frac{\pi}{4} \)

Pozbywamy się minusa \( [-\sin\alpha = \sin(-\alpha)] \)
\(\sin t = \sin(-\frac{\pi}{4}) \)

Stosujemy wzory na rozwiązanie dla sinusa \( (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = \pi - \alpha + 2k\pi) \)

Pierwsza seria rozwiązań:
\(t=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\)
\(5x+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\)
\(5x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2} +2k\pi\)
\(5x=-\frac{3\pi}{4} +2k\pi\,\,\,\,/:5\)
\(x=-\frac{3\pi}{20} +\frac{2k\pi}{5}\)

Druga seria rozwiązań:
\(t=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\)
\(5x+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\)
\(5x=\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{2} +2k\pi\)
\(5x=\frac{5\pi}{4}-\frac{2\pi}{4} +2k\pi\)
\(5x=\frac{3\pi}{4} +2k\pi\,\,\,\,/:5\)
\(x=\frac{3\pi}{20} +\frac{2k\pi}{5}\)

Odpowiedź

\(x=-\frac{3\pi}{20} +\frac{2k\pi}{5}\) lub \(x=\frac{3\pi}{20} +\frac{2k\pi}{5}\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)