RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 14
Rozwiąż równanie: \( \cos x - \cos 2x + \cos 3x = 0 \)
Rozwiązanie
\( \cos x - \cos 2x + \cos 3x = 0 \)
Zastosujemy wzór na sumę cosinusów:
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\)
\( \cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x \)
\( 2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0 \)
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\)
\( \cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x \)
\( 2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0 \)
Wyciągamy wspólny czynnik \( \cos 2x \) przed nawias
\( \cos 2x (2 \cos x - 1) = 0 \)
\( \cos 2x (2 \cos x - 1) = 0 \)
Rozwiązujemy dwa równania:
1) \( \cos 2x = 0 \)
2) \( 2 \cos x - 1 = 0 \)
1) \( \cos 2x = 0 \)
2) \( 2 \cos x - 1 = 0 \)
1) Dla \( \cos 2x = 0 \) mamy:
\( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \)
\( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \)
2) Dla \( 2 \cos x - 1 = 0 \) mamy:
\( \cos x = \frac{1}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
\( \cos x = \frac{1}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \) lub \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)