RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 13
Rozwiąż równanie: \( \sin 4x + \sin 2x = \sqrt{2} \cos x \)
Rozwiązanie
\( \sin 4x + \sin 2x = \sqrt{2} \cos x \)
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
\( \sin 4x + \sin 2x = 2 \sin \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} \)
\( \sin 4x + \sin 2x = 2 \sin 3x \cos x \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
\( \sin 4x + \sin 2x = 2 \sin \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} \)
\( \sin 4x + \sin 2x = 2 \sin 3x \cos x \)
\( 2 \sin 3x \cos x =\sqrt{2} \cos x \)
Przenosimy \( \sqrt{2} \cos x \) na lewą stronę:
\( 2 \sin 3x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0 \)
Przenosimy \( \sqrt{2} \cos x \) na lewą stronę:
\( 2 \sin 3x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0 \)
Wyciągamy \( \cos x \) przed nawias:
\( \cos x (2 \sin 3x - \sqrt{2}) = 0 \)
\( \cos x (2 \sin 3x - \sqrt{2}) = 0 \)
Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:
1) \( \cos x = 0 \)
2) \( 2 \sin 3x - \sqrt{2} = 0 \)
1) \( \cos x = 0 \)
2) \( 2 \sin 3x - \sqrt{2} = 0 \)
Rozwiązujemy pierwsze równanie:
\( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Rozwiązujemy drugie równanie:
\( 2 \sin 3x = \sqrt{2} \)
\( \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2} =\sin \frac{\pi}{4} \)
\( \sin 3x = \sin \frac{\pi}{4} \)
\( \sin \alpha = \sin \beta \iff (\alpha = \beta + 2k\pi) \) lub \( (\alpha = \pi - \beta + 2k\pi) \)
\( 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( 3x = \pi- \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( 3x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Dzielimy przez 3:
\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \) lub \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( 2 \sin 3x = \sqrt{2} \)
\( \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2} =\sin \frac{\pi}{4} \)
\( \sin 3x = \sin \frac{\pi}{4} \)
\( \sin \alpha = \sin \beta \iff (\alpha = \beta + 2k\pi) \) lub \( (\alpha = \pi - \beta + 2k\pi) \)
\( 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( 3x = \pi- \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( 3x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Dzielimy przez 3:
\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \) lub \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \) lub \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \)