RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4} \) Rozwiązanie
\( \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4} \)
Mnożymy obustronnie przez 2, aby pozbyć się ułamka
\( 2 \sin x \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2 \sin x \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Korzystamy ze wzoru \( 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x \)
\( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} \)
\( \sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} \)
\( \sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} \)
Z tożsamość:
\( \sin \alpha = \sin \beta \iff (\alpha = \beta + 2k\pi) \) lub \( (\alpha = \pi - \beta + 2k\pi) \)
Rozwiązujemy równanie \( \sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} \)
\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( 2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( 2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) lub \( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \)
Dzielimy obustronnie przez 2
\( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)