RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 2
Rozwiąż równanie: \( \displaystyle\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt2}{2} \) Rozwiązanie
\( \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt2}{2} \)
\( - \cos^2 x +\sin^2 x = \frac{\sqrt2}{2} \)
Mnożymy obie strony przez \(-1\)
\( \cos^2 x -\sin^2 x = -\frac{\sqrt2}{2} \)
Korzystamy z tożsamości: \( \cos^2 x-\sin^2 x = \cos 2x \)
\( \cos 2x = -\frac{\sqrt2}{2} \)
\( \frac{\sqrt2}{2}= \cos\frac{\pi}{4} \)
\( \cos 2x = -\cos\frac{\pi}{4} \)
\( -\cos\frac{\pi}{4}=\cos(\pi-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{3\pi}{4} \)
\( \cos 2x = \cos\frac{3\pi}{4} \)
Uzyskaliśmy równaie w którym możemy zastosować wzory na serie rozwiązań dla cosinusa.
Kozystamy z tożsamość:
\( \cos \alpha = \cos \beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \) lub
\( \alpha = -\beta + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \).
\( 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( 2x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
Dzielimy obie strony przez 2
\( x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \) lub \( x = -\frac{3\pi}{8} + k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \) lub \( x = -\frac{3\pi}{8} + k\pi \)