SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH - ZADANIA
Zadanie 1
Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynu:
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta \)
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = (\sin \alpha - \sin \beta)(\sin \alpha + \sin \beta) \)
Stosujemy wzory na sumę i różnicę sinusów:
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2} \right) \sin \left(\frac{A - B}{2} \right) \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2} \right) \cos \left(\frac{A - B}{2} \right) \)
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2} \right) \sin \left(\frac{A - B}{2} \right) \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2} \right) \cos \left(\frac{A - B}{2} \right) \)
Podstawiamy:
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \left[ 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right] \cdot \left[ 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right] \)
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \left[ 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right] \cdot \left[ 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right] \)
Upraszczamy:
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = 4 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = 4 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)
Korzystamy z tożsamości:
\( \sin X \cos X = \frac{1}{2} \sin (2X) \)
\( \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) \)
\( \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin (\alpha + \beta) \)
\( \sin X \cos X = \frac{1}{2} \sin (2X) \)
\( \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) \)
\( \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin (\alpha + \beta) \)
Podstawiamy i upraszczamy:
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = 4 \cdot \frac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) \cdot \frac{1}{2} \sin (\alpha + \beta) \)
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha - \beta) \sin (\alpha + \beta) \)
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = 4 \cdot \frac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) \cdot \frac{1}{2} \sin (\alpha + \beta) \)
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha - \beta) \sin (\alpha + \beta) \)
Odpowiedź
\( \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha - \beta) \sin (\alpha + \beta) \)