SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH - ZADANIA
Zadanie 2
Przedstaw w postaci iloczynu wyrażenie:
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) \)
Rozwiązanie
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) \)Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) =\) \( [\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)] [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)] \)
Stosujemy wzory na różnicę i sumę sinusów:
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
Gdzie: \( A = (\alpha + \beta) \), \( B = (\alpha - \beta )\):
\( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) =\) \( 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\sin \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}=\) \( 2 \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = \) \( 2 \sin \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\cos \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}=\) \(2 \sin \alpha \cos \beta \)
\( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) =\) \( 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\sin \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}=\) \( 2 \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = \) \( 2 \sin \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\cos \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}=\) \(2 \sin \alpha \cos \beta \)
Podstawiamy do wcześniejszego równania:
\( (2 \cos \alpha \sin \beta)(2 \sin \alpha \cos \beta) \)
\( (2 \cos \alpha \sin \beta)(2 \sin \alpha \cos \beta) \)
Przekształcamy:
\( 4 \cos \alpha \sin \beta \sin \alpha \cos \beta \)
\( 4 \cos \alpha \sin \beta \sin \alpha \cos \beta \)
Stosujemy wzory na sinus podwojonego kąta:
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), \( \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta \)
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), \( \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta \)
Ostateczny wynik:
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta \)
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta \)
Odpowiedź
\( \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 (\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta \)