INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby np. \(\,\,-3,\,\,5,\,-6\)

Odległość liczby \(-3\) do \(0\) równa się \(3\)
Odległość liczby \(5\) do \(0\) równa się \(5\)
Odległość liczby \(-6\) do \(0\) równa się \(6\) Takie same zależności otrzymamy, gdy obliczymy wartości bezwzględne z tych liczb

\(|-3|=3\)
\(|5|=5\)
\(|-6|=6\)

Możemy, zatem sformułować twierdzenie

Twierdzenie 1

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \(x\) jest równa odległości tej liczby od zera na osi liczbowej.

Rozwiążmy równanie \(|x|=4\)
Łatwo się domyśleć, że za \(x\) możemy podstawić liczby \(4\) lub \(-4\)
Ponieważ: \(|4|=|-4|=4\)
Zatem rozwiązaniem jest \(x=4\) lub \(x=-4\)

\(4\) i \(-4\) są to liczby przeciwne a na osi liczbowej są symetryczne względem liczby \(0\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 2

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną \((a \ge 0)\) , to \[ |x|=a \Leftrightarrow (x=a \vee x=-a) \] gdzie znak \(\Leftrightarrow\) czytamy: wtedy i tylko wtedy, gdy
a znak \(\vee \) zastępuje spójnik lub

Rozwiążmy równanie \(|x|>4\)
Tutaj rozwiązaniem będą liczby, które leżą na osi liczbowej na prawo od liczby \(4\) lub leżą na lewo od liczby \(-4\)
Gdyż rozwiązaniem muszą być liczby, których wartość bezwzględna jest większa od 4
Zatem \(x<-4\) lub \(x>4\)
Rozwiązanie możemy podać za pomocą sumy przedziałów \(x\in (-\infty,-4)\cup (4,\infty)\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 3

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną \((a \ge 0)\) , to \[ |x|>a \Leftrightarrow (x < -a \vee x>a) \] \[ |x|\ge a \Leftrightarrow (x \le -a \vee x\ge a) \]

Rozwiążmy równanie \(|x|<4\)
Tutaj rozwiązaniem będą liczby, które na osi liczbowej leżą między liczbami \(-4\) i \(4\)
Gdyż rozwiązaniem muszą być liczby których wartość bezwzględna jest mniejsza od 4
Zatem \(x> -4\) i \(x<4\) albo możemy to zapisać w postaci \(-4<x<4\)
Rozwiązanie możemy podać za pomocą przedziału \(x\in (-4,4)\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 4

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną \((a \ge 0)\) , to \[ |x|<a \Leftrightarrow (-a<x<a) \Leftrightarrow (x > -a \wedge x<a) \] \[ |x|\le a \Leftrightarrow (-a\le x\le a) \Leftrightarrow (x \ge -a \wedge x\le a) \] gdzie znak \(\wedge \) zastępuje spójnik i