ODLEGŁOŚĆ MIĘDZY DWOMA PUNKTAMI NA OIS LICZBOWEJ

Przykład 1

Obliczmy odległość między dwoma punktami: \(-2\) i \(3\) na osi liczbowej
Odległość między liczbami \(-2\) i \(3\) wynosi \(5\) Interpretacja odległości na osi liczbowej dwóch punktów -2 i 3

Interpretacja odległości na osi liczbowej dwóch punktów -2 i 3

Odległość między punktami możemy obliczyć korzystając z wartości bezwzględnej na dwa sposoby:
Od pierwszego punktu odejmując drugi \(\,|-2-3|=|-5|=5\)
lub od drugiego punktu odjąć pierwszy \(\,|3-(-2)|=|5|=5\)
widzimy, że kolejność odejmowania liczb nie zmienia nam wyniku.

Jest tak dlatego bo wyrażenia \(|a-b|=|b-a|\) są równoważne, gdyż liczby \(a-b\) i \(b-a\) są przeciwne, gdzie \(a\) i \(b\) to dowolne liczby na osi liczbowej.

Twierdzenie 1

Odległość na osi liczbowej między dwiema liczbami \(a\) i \(b\) jest równa: \[ |a-b| \] lub \[ |b-a| \] oczywiście zachodzi: \[ |a-b|=|b-a| \]

Przykład 2

Rozwiążmy równanie \(|x-3|=5\)
Równanie \(|x-3|=5\) rozumiemy: różnica niewiadomej x-sa i trójki równa się pięć
Zatem za \(x\) możemy podstawić (-2) jak to było w przykładzie 1 ale i też liczbę 8 Interpretacja geometryczna rozwiązanie równania z wartościa bezwzgledną |x-2|=3

Interpretacja geometryczna rozwiązanie równania z wartościa bezwzgledną |x-2|=3

Z interpretacji geometrycznej nasze równanie \(|x-3|=5\) możemy rozumieć: x-sy są oddalone od 3 o wartość równą 5

Przykład 3

Rozwiążmy równanie \(|x|=4\) przykład z poprzedniej strony
Równanie \(|x|=4\) możemy zapisań \(|x-0|=4\) co rozumiemy: x-sy są oddalone od 0 o wartość równą 4 Interpretacja geometryczna rozwiązanie równania z wartościa bezwzgledną |x|=4

Interpretacja geometryczna rozwiązanie równania z wartościa bezwzgledną |x|=4

Mamy dwie liczby, które są rozwiązaniem naszego równania: \(x=-4\) lub \(x=4\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 2

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną \((a \ge 0)\) , i \(w\) jest dowolnym wyrażeniem, to \[ |w|=a \Leftrightarrow (w=a \vee w=-a) \] gdzie znak \(\Leftrightarrow\) czytamy: wtedy i tylko wtedy, gdy
a znak \(\vee \) zastępuje spójnik lub

Przykład 4

Rozwiążmy równanie \(|x-(-1)|>4\)
Powyższe równanie równoważne jest równaniu \(|x+1|>4\)
Równanie \(|x+1|>4\) rozumiemy: x-sy są oddalone od \(-1\) o więcej niż \(4\) Interpretacja geometryczna rozwiązanie nierównoąci z wartościa bezwzgledną |x+1|>4

Interpretacja geometryczna rozwiązanie nierównoąci z wartościa bezwzgledną |x+1|>4

Tutaj mamy dwa przedziały, które są rozwiązaniem naszego równania: \(x>3\) lub \(x< -5\)
Rozwiązanie możemy podać za pomocą sumy przedziałów \(x\in (-\infty,-5)\cup (3,\infty)\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 3

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną \((a \ge 0)\) , i \(w\) jest dowolnym wyrażeniem, to \[ |w|>a \Leftrightarrow (w<-a \vee w>a) \] \[ |w|\ge a \Leftrightarrow (w\le -a \vee w\ge a) \]

Przykład 5

Rozwiążmy równanie \(|1-x|<3\)
Powyższe równanie równoważne jest równaniu \(|x-1|<3\)
Równanie \(|x-1|<3\) rozumiemy: x-sy są oddalone od \(1\) o mniej niż \(3\) Interpretacja geometryczna rozwiązanie nierównoąci z wartościa bezwzgledną |x-1|<3

Interpretacja geometryczna rozwiązanie nierównoąci z wartościa bezwzgledną |x-1|<3

Rozwiązaniem naszego równania są liczby \(x\) dla których : \(x>-2\) i \(x< 4\) albo możemy to zapisać w postaci \(-2<x<4\)
Rozwiązanie możemy podać za pomocą przedziału \(x\in (-2,4)\)

Dla ogólnych przypadków zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 4

Jeżeli \(a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią \((a >0)\) , i \(w\) jest dowolnym wyrażeniem, to \[ |w|<a \Leftrightarrow (-a<w<a) \Leftrightarrow (w>-a \wedge w<a) \] \[ |w| \le a \Leftrightarrow (-a\le w\le a) \Leftrightarrow (w\ge -a \wedge w\le a) \] gdzie znak \(\wedge \) zastępuje spójnik i

→ dalej Wartość bezwzględna własności

← wstecz Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej