Wartość bezwzględną liczby \(x\) oznaczamy symbolem: \(\left| x \right|\)
Zapis wartości bezwzględnej wprowadził w 1841 cytowany powyżej
Karl Weierstrass
Uwagi do definicji
1. W definicji klamerka \(\{\) zastępuje
spójnik logiczny lub
Z kolei inaczej jest przy układach równań tam
\(\small \left\{\begin{array}{cl}
7x-y=2\ \\
2y-x=-5
\end{array}\right.\)
klamerka \(\{\) zastępuje
spójnik logiczny i
2. Symbol \(-x\) nie oznacza liczby ujemnej, ale operację: weź liczbę przeciwną do \(x\)
W powyższej definicji \(-x\) jest liczbą dodatnią bo \(x < 0\) np. \(-(-4)=4\)
3. Liczbą przeciwną do \(0\) jest \(0\). Zapis \((-0)\) czy \((+0)\) oznacza po prostu \(0\).
Przykład 1
Wartość bezwzględna liczby dodatniej \((x\ge 0)\) to ta sama liczba
1. \(|5|=5\)
2. \(|7,5|=7,5\)
4. \(|0|=0\)
Przykład 2
Wartość bezwzględna liczby ujemnej \((x < 0)\) to liczba do niej przeciwna
liczba przeciwna do \((-3)\) to \(3\)
liczba przeciwna do \((-11)\) to \(11\)
1. \(|-3|=-(-3)=3\)
2. \(|-11|=-(-11)=11\)
3. \(|-215|=-(-215)=215\)
W bardziej skomplikowanych przypadkach, aby opuścić symbol wartości bezwzględnej \(|\,\,|\)
należy wiedzieć czy liczba jest
ujemna czy
nieujemna (lub czy wyrażenie jest ujemne czy nieujemne)
Przykład 3
Kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie to opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
1. \(|5+\sqrt2|=5+\sqrt2\)
bo obie liczby są dodatnie
2. \(|4-\sqrt3|=4-\sqrt3\)
bo \(4>\sqrt3\)
2. \(|-3+\pi|=-3+\pi\)
bo \(\pi>-3\)
5. \(|\log_3 {5}|=\log_3 {5}\)
bo \(\log_3 {5} > 0\)
4. \(|1-\sin x|=1-\sin x\)
bo \(\sin x \le 1\)
Przykład 4
Kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne to opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku na przeciwny.
1. \(|-2-\sqrt3|=-(-2-\sqrt3)=2+\sqrt3\)
bo obie liczby są ujemne
2. \(|-2+\sqrt3|=-(-2+\sqrt3)=2-\sqrt3\)
bo \(-2>\sqrt3\)
3. \(|1-\sqrt3|=-(1-\sqrt3)-1+\sqrt3\)
bo \(1 < \sqrt3\)
4. \(|\cos \frac{3\pi}{4} |=-\cos \frac{3\pi}{4}\)
bo \(\cos \frac{3\pi}{4} < 0\)
5. \(|\log_2 {0,2}|=-\log_2 {0,2}\)
bo \(\log_2 {0,2} < 0\)
