NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 1
Rozwiąż nierówność \(|x-1|+|x-4| \gt 5\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
\(x-4=0 \Rightarrow x=4\)
Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \( (-\infty, 1) \), \( \langle 1, 4) \) oraz \( \langle 4, \infty) \).
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty, 1 \right)\):
\(x-1 \lt 0\) więc \(|x-1|=-(x-1)=-x+1\)
\(x-4 \lt 0\) więc \(|x-4|=-(x-4)=-x+4\)
\(-x+1 -x+4 \gt 5\)
\(-2x+5 \gt 5\)
\(-2x \gt 0 \quad / :(-2)\)
\(x \lt 0\)
\(x \in \left( -\infty, 0 \right)\)
Częścią wspólną wyniku \( \left( -\infty, 0 \right)\) z przedziałem \(\left( -\infty, 1 \right)\) jest zbiór \(x \in \left( -\infty, 0 \right)\).
Przypadek 2, gdy \(x \in \left\langle 1, 4 \right)\):
\(x-1 \ge 0\) więc \(|x-1|=x-1\)
\(x-4 \lt 0\) więc \(|x-4|=-(x-4)=-x+4\)
\(x-1 -x+4 \gt 5\)
\(3 \gt 5\)
Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, zatem w tym przedziale brak rozwiązań.
Przypadek 3, gdy \(x \in \left\langle 4, \infty \right)\):
\(x-1 \ge 0\) więc \(|x-1|=x-1\)
\(x-4 \ge 0\) więc \(|x-4|=x-4\)
\(x-1 + x-4 \gt 5\)
\(2x-5 \gt 5\)
\(2x \gt 10 \quad / :2\)
\(x \gt 5\)
\(x \in \left( 5,\infty \right)\)
Częścią wspólną wyniku \( \left( 5,\infty \right)\) z przedziałem \(\left\langle 4, \infty \right)\) jest zbiór \(x \in \left( 5, \infty \right)\).
Końcową odpowiedź stanowi suma rozwiązań z przypadków: \(1,2,3\):
\(x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 5, \infty \right)\)
Rozwiązaniem końcowym jest suma rozwiązań uzyskanych w poszczególnych przypadkach:
\(x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \emptyset \cup \left( 5, \infty \right) \Leftrightarrow x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 5, \infty \right)\)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest: \(x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 5, \infty \right) \)
