NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 2
Rozwiąż nierówność \(|x-2|+|x+1| \ge 3x-3\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(x-2=0 \Rightarrow x=2\)
\(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)
Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \( (-\infty, -1) \), \( \langle -1, 2) \) oraz \( \langle 2, \infty) \).
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,-1 \right)\) to:
\(x-2 \lt 0\) więc \(|x-2|=-(x-2)=-x+2\)
\(x+1 \lt 0\) więc \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\)
\(-x+2-x-1 \ge 3x-3\)
\(-2x+1 \ge 3x-3\)
\(-5x \ge -4\)
\(x \le \frac{4}{5}\)
Z przedziału \(\left( -\infty,-1 \right)\) wszystkie liczby spełniają ten warunek, więc rozwiązaniem jest cały przedział \(\left( -\infty,-1 \right)\).
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle -1,2 \right)\) to:
\(x-2 \lt 0\) więc \(|x-2|=-(x-2)=-x+2\)
\(x+1 \ge 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(-x+2 + x+1 \ge 3x-3\)
\(3 \ge 3x-3\)
\(6 \ge 3x\)
\(x \le 2\)
Wszystkie liczby z przedziału \(\left\langle -1,2 \right)\) są mniejsze lub równe 2, więc cały przedział jest rozwiązaniem.
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle 2 ,\infty \right)\) to:
\(x-2 \ge 0\) więc \(|x-2|=x-2\)
\(x+1 \ge 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(x-2 + x+1 \ge 3x-3\)
\(2x - 1 \ge 3x - 3\)
\(-x \ge -2\)
\(x \le 2\)
Tylko liczba \(2 \in \left\langle 2,\infty \right)\) spełnia ten warunek.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in (-\infty, -1) \cup \langle -1, 2) \cup \{2\} \Leftrightarrow x\in (-\infty, 2\rangle\)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: \(x\in (-\infty, 2\rangle \)
