NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 8
Rozwiąż nierówność \(||x-1|-3| \gt 2\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z twierdzenia:
\( |w| \gt b \Leftrightarrow w \lt -b \quad \vee \quad w \gt b \)
W naszym przypadku \( w = |x-1|-3 \) oraz \( b = 2 \).
Zdejmujemy zewnętrzną wartość bezwzględną:
\( |x-1|-3 \lt -2 \quad \vee \quad |x-1|-3 \gt 2 \)
\( |x-1| \lt 1 \quad \quad \vee \quad \quad |x-1| \gt 5 \)
Otrzymaliśmy alternatywę dwóch niezależnych nierówności.
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
\( |x-1| \lt 1 \)
\( -1 \lt x-1 \lt 1 \quad / +1 \)
\( 0 \lt x \lt 2 \)
\( x \in (0; 2) \)
Rozwiązanie drugiej nierówności:
\( |x-1| \gt 5 \)
\( x-1 \lt -5 \quad \vee \quad x-1 \gt 5 \)
\( x \lt -4 \quad \quad \vee \quad \quad x \gt 6 \)
\( x \in (-\infty; -4) \cup (6; \infty) \)
Końcowym rozwiązaniem jest suma wszystkich otrzymanych zbiorów:
\( x \in (-\infty; -4) \cup (0; 2) \cup (6; \infty) \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest: \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; 2) \cup (6; \infty) \)
