NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 7
Rozwiąż nierówność \(||x+2|-5| \ge 3\)
Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia:
\( |w| \ge a \Leftrightarrow w \le -a \quad \vee \quad w \ge a \)
W naszym zadaniu \( w = |x+2|-5 \) oraz \( a = 3 \).
Zdejmujemy zewnętrzną wartość bezwzględną, rozpisując alternatywę:
\( |x+2|-5 \le -3 \quad \quad \vee \quad \quad |x+2|-5 \ge 3 \)
\( |x+2| \le 2 \quad \quad \quad \vee \quad \quad |x+2| \ge 8 \)
Rozwiązujemy obie nierówności niezależnie.
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
\( |x+2| \le 2 \)
Korzystamy z własności \( -2 \le x+2 \le 2 \):
\( -2 \le x+2 \le 2 \quad / -2 \)
\( -4 \le x \le 0 \)
\( x \in \langle -4; 0 \rangle \)
Rozwiązanie drugiej nierówności:
\( |x+2| \ge 8 \)
\( x+2 \le -8 \quad \vee \quad x+2 \ge 8 \)
\( x \le -10 \quad \vee \quad x \ge 6 \)
\( x \in (-\infty; -10\rangle \cup \langle 6; \infty) \)
Końcowym rozwiązaniem jest suma (alternatywa) wszystkich uzyskanych zbiorów:
\( x \in (-\infty; -10\rangle \cup \langle -4; 0 \rangle \cup \langle 6; \infty) \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest: \( x \in (-\infty; -10\rangle \cup \langle -4; 0 \rangle \cup \langle 6; \infty) \)
