RÓWNANIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 5
Rozwiąż nierównność z wartością bezwzględną: \(2|x+8|\geq 1-4x\) korzystając z
definicji
Rozwiązanie
Równanie rozwiążemy korzystając z definicji wartości bezwzględnej.
\(\small |x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \geq 0 \\
-x & : \ x < 0
\end{array} \right.\)
\(2|x+8|\geq 1-4x\)
Przypadek pierwszy, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest nieujemna:
\(x+8\ge 0\)
\(x\ge -8\)
dla \(x\ge -8\) opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku
zatem równanie będzie miało postać
\(2(x+8)\geq 1-4x\)
\(2x+16\geq 1-4x\)
\(2x+4x\geq 1-16\)
\(6x\geq -15\)
\(x\geq -2,5\)
Nierówność jest określona dla części wspólnej przedziałów \(\left[x\in \left( -8,\infty \right)\wedge \left( 2\frac{1}{2},\infty \right)\right]\Leftrightarrow x\in \left( 2\frac{1}{2},\infty \right)\)
Przypadek drugi, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest ujemna:
\(x+8\le 0\)
\(x\le -8\)
dla \(x\lt -8\) opuszczamy wartość bezwzględną ze zmiany znaku
a nasze równanie będzie miało postać
\(2\cdot(-x-8)\geq 1-4x\)
\(-2x-16\geq 1-4x\)
\(-2x+4x\geq 1+16\)
\(2x\geq 17\)
\(x\geq 8,5\)
Nierówność jest określona dla części wspólnej przedziałów \(\left[x\in \left( -\infty,-8 \right)\wedge \left( 8\frac{1}{2},\infty \right)\right]\Leftrightarrow x\in \emptyset \)
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w obu przypadkach
\(\left[ x\in \left( 2\frac12,\infty \right)\wedge x\in \emptyset\right] \Leftrightarrow x\in \left( 2\frac12,\infty \right)\)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności \(2|x+8|\geq 1-4x\) jest przedział: \((2\frac12 , \infty )\)
