NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 4
Rozwiąż równanie: \(|4x-2|\lt6\) korzystając z
definicji.
Rozwiązanie
Równanie rozwiążemy korzystając z definicji wartości bezwzględnej.
\(\small |x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \geq 0 \\
-x & : \ x < 0
\end{array} \right.\)
Poniżej jak powinien wyglądać formalny zapis rozwiązania zadania korzystając z definicji
\(\wedge\) oznacza spójnik i \(\vee\) oznacza spójnik lub \(\Leftrightarrow\) oznacza spójnik: wtedy i tylko wtedy, gdy
\(|4x-2|\lt6 \;\; \Leftrightarrow\)
\([4x-2\ge 0\;\; \wedge \;\; 4x-2 \lt6]\)
\(\vee\) \([4x-2\lt 0 \;\; \wedge -(4x-2) \lt 6] \;\; \Leftrightarrow\)
\([4x\ge 2 \;\; \wedge \;\; 4x \lt 8]\)
\(\vee\) \([4x\lt 2 \;\; \wedge \;\;-4x+2 \lt 6] \;\; \Leftrightarrow\)
\([x\ge \frac12 \;\; \wedge \;\; x \lt 2]\)
\(\vee\) \([x\lt \frac12 \;\; \wedge \;\;-4x \lt 4] \;\; \Leftrightarrow\)
\([x\ge \frac12 \;\; \wedge \;\; x \lt 2]\)
\(\vee\) \([x\lt \frac12\;\; \wedge \;\; x \gt -1] \;\; \Leftrightarrow\)
obliczamy części wspólne koniunkcji (spójnik \(\wedge\) )
\([x \in (\frac12,2)]\)
\(\vee\) \([x \in(-1,\frac12) ] \;\; \Leftrightarrow\)
obliczamy sumę alternatywy (spójnik \(\vee\) )
\(x \in(-1,2)\)
Nasze rozwiązanie
Interpretacja geometrycznej równania \(|4x-2|\lt 6\)
\(|4\cdot(x-\frac12)|\lt6\)
wyciągamy \(4\) przed nawias
\(|4|\cdot|(x-\frac12)|\lt6\)
\(|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\)
\(4\cdot|(x-\frac12)|\lt6\;\;\;/:4\)
\( |4|=4\)
\(|(x-\frac12)|\lt 1,5\)
Rozwiązaniem równania w są x-sy oddalone od \(0,5\) o wartość mniejszą niż \(1,5\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana \(|4x-2|\lt6\) są liczby z przedziału: \(x \in(-1,2)\)
