RÓWNANIA Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 8
Rozwiąż równanie \(2|4-x|-|x+1|=2x+3\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(4-x=0 \Rightarrow x=4\) \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)
Rozwiązujemy równanie w trzech przedziałach \( \left( -\infty ,-1 \right), \left\langle -1,4 \right) , \left\langle 4 ,\infty \right)\)
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,-1 \right)\) to:
\(4-x\geq 0\) więc \(|4-x|=4-x\)
\(x+1\lt 0\) więc \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\)
\(2|4-x|-|x+1|=2x+3\)
\(2(4-x) -(-x-1) = 2x+3\)
\(8-2x +x+1 = 2x+3\)
\(-x+9 = 2x+3\)
\(-3x = -6\)
\(x = 2\)
Ale \(2 \notin \left( -\infty,-1 \right)\), więc nie ma rozwiązania w tym przedziale.
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle -1,4 \right)\) to:
\(4-x\geq 0\) więc \(|4-x|=4-x\)
\(x+1\geq 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(2|4-x|-|x+1|=2x+3\)
\(2(4-x) -(x+1) = 2x+3\)
\(8-2x -x-1 = 2x+3\)
\(-3x+7 = 2x+3\)
\(-5x = -4\)
\(x = \frac{4}{5}\)
\(\frac{4}{5} \in \left\langle -1,4 \right)\), więc, liczba \(\frac{4}{5}\) jest rozwiązaniem równania w tym przedziale.
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle 4 ,\infty \right)\) to:
\(4-x\lt 0\) więc \(|4-x|=-(4-x)=x-4\)
\(x+1\geq 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(2|4-x|-|x+1|=2x+3\)
\(2(x-4) -(x+1) = 2x+3\)
\(2x-8 -x-1 = 2x+3\)
\(x-9 = 2x+3\)
\(-x = 12 \quad / \cdot (-1)\)
\(x = -12\)
\(-12 \notin \left\langle 4,\infty \right)\), więc nie ma rozwiązania w tym przedziale.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in \emptyset \cup \left\{\frac{4}{5}\right\} \cup \emptyset \Leftrightarrow x\in\left\{\frac{4}{5}\right\} \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań równana \(2|4-x|-|x+1|=2x+3\) jest zbiór: \(x\in\left\{\frac{4}{5}\right\}\)
