RÓWNANIA Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 7
Rozwiąż równanie \(|x|-2=4-2|x-3|\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(x=0\) \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)
Rozwiązujemy równanie w trzech przedziałach \( \left( -\infty ,0 \right), \left\langle 0,3 \right) , \left\langle 3 ,\infty \right)\)
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,0 \right)\) to:
\(x\lt 0\) więc \(|x|=-x\)
\(x-3\lt 0\) więc \(|x-3|=-(x-3)=3-x\)
\(|x|-2=4-2|x-3|\)
\(-x-2=4-2(3-x)\)
\(-x-2=4-6+2x\)
\(-x-2=-2+2x\)
\(-3x=0\)
\(x=0\)
Ale \(0 \notin \left( -\infty,0 \right)\), więc nie ma rozwiązania w tym przedziale.
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle 0,3 \right)\) to:
\(x\geq 0\) więc \(|x|=x\)
\(x-3\lt 0\) więc \(|x-3|=-(x-3)=3-x\)
\(|x|-2=4-2|x-3|\)
\(x-2=4-2(3-x)\)
\(x-2=4-6+2x\)
\(x-2=-2+2x\)
\(-x=0\)
\(x=0\)
\( 0\in \left\langle 0,3 \right)\), więc, liczba \(0\) jest rozwiązaniem równania w tym przedziale.
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle 3 ,\infty \right)\) to:
\(x\geq 0\) więc \(|x|=x\)
\(x-3\geq 0\) więc \(|x-3|=x-3\)
\(|x|-2=4-2|x-3|\)
\(x-2=4-2(x-3)\)
\(x-2=4-2x+6\)
\(x-2=-2x+10\)
\(3x=12\)
\(x=4\)
\(4 \in \left\langle 3,\infty \right)\), więc, liczba \(4\) jest rozwiązaniem równania w tym przedziale.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in \{0\} \cup \{4\} \Leftrightarrow x\in \{0,4\} \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań równana \(|x|-2=4-2|x-3|\) jest zbiór: \(x\in\{0,4\}\)
