WYKRES FUNKCJI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 3
Rozwiąż równanie algebraicznie: \( |x+1|+x=6-|3-x| \)
Rozwiązanie
Najpierw przekształcamy równanie tak, aby wartości bezwzględne znalazły się po jednej stronie:
\[ |x+1| + |3-x| = 6 - x \]
Rozwiązanie graficzne tego równania polega na narysowaniu wykresów dwóch funkcji:
\[ f(x) = |x+1| + |3-x| \]
\[ g(x) = -x+6 \]
Teraz analizujemy przypadki w zależności od wartości wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.
Dla \( x \lt -1 \):
\( |x+1| = -x - 1 \)
\( |3-x| = 3 - x \)
\(f(x)= -x - 1 + 3 - x \)
\(f(x)= -2x + 2 \)
\( |x+1| = -x - 1 \)
\( |3-x| = 3 - x \)
\(f(x)= -x - 1 + 3 - x \)
\(f(x)= -2x + 2 \)
Dla \( -1 \leq x \lt 3 \):
\( |x+1| = x + 1 \)
\( |3-x| = 3 - x \)
\(f(x)= x + 1 + 3 - x \)
\(f(x)= 4 \)
\( |x+1| = x + 1 \)
\( |3-x| = 3 - x \)
\(f(x)= x + 1 + 3 - x \)
\(f(x)= 4 \)
Dla \( x \geq 3 \):
\( |x+1| = x + 1 \)
\( |3-x| = x - 3 \)
\(f(x)= x + 1 + x - 3 \)
\(f(x)= 2x - 2 \)
\( |x+1| = x + 1 \)
\( |3-x| = x - 3 \)
\(f(x)= x + 1 + x - 3 \)
\(f(x)= 2x - 2 \)
Zatem naszą funkcję \(f(x)\) możemy zapisać:
\( |x+1|+|x-1| = \left\{ \begin{array}{cl} -2x+2 & :\,\,\,\, \ x\lt-1 \\ 4 & :\,\,\,\, \ -1\le x \lt 3 \\ 2x-2 & :\,\,\,\,\,\,\,\ x\ge 3 \end{array} \right.\) \( g(x) = -x+6 \)
\( |x+1|+|x-1| = \left\{ \begin{array}{cl} -2x+2 & :\,\,\,\, \ x\lt-1 \\ 4 & :\,\,\,\, \ -1\le x \lt 3 \\ 2x-2 & :\,\,\,\,\,\,\,\ x\ge 3 \end{array} \right.\) \( g(x) = -x+6 \)
Na układ współrzędny nanosimy wykresy funkcji \(f(x)\) i \(g(x)\)
Częścią wspólną wykresów są punkty:
\( \left( -4,10 \right),\left( 2,4 \right) \)
\( \left( -4,10 \right),\left( 2,4 \right) \)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równania \( |x+1|+x=6-|3-x| \) jest zbiór: \( x \in \{-4,2\} \).