WYKRES FUNKCJI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 2
Rozwiąż równanie graficznie: \( |x+1|+|x-1| =2 \)
Rozwiązanie
Rozwiązanie graficzne tego równania polega na narysowaniu wykresów dwóch funkcji:
\[ f(x) = |x+1|+|x-1| \]
\[ g(x) = 2 \]
Wartości bezwzględne zmieniają swoją postać w zależności od przedziałów, w których się znajdujemy.
Dla \(x \lt -1\):
\( |x + 1| = -x - 1 \)
\( |x - 1| = -x + 1 \)
\( f(x) = -x - 1 + -x +1 = -2x \)
\( |x + 1| = -x - 1 \)
\( |x - 1| = -x + 1 \)
\( f(x) = -x - 1 + -x +1 = -2x \)
Dla \(-1 \leq x \lt 1\):
\( |x + 1| = x + 1 \)
\( |x - 1| = -x + 1 \)
\( f(x) = x + 1 + -x +1 = 2 \)
\( |x + 1| = x + 1 \)
\( |x - 1| = -x + 1 \)
\( f(x) = x + 1 + -x +1 = 2 \)
Dla \(x \ge 1\):
\( |x + 1| = x +1 \)
\( |x - 1| = x - 1 \)
\( f(x) = x + 1 + x -1 = 2x \)
\( |x + 1| = x +1 \)
\( |x - 1| = x - 1 \)
\( f(x) = x + 1 + x -1 = 2x \)
Zatem naszą funkcję \(f(x)\) możemy zapisać:
\( |x+1|+|x-1| = \left\{ \begin{array}{cl} -2x & :\,\,\,\, \ x\lt-1 \\ 2 & :\,\,\,\, \ -1\le x \lt 1 \\ 2x & :\,\,\,\,\,\,\,\ x\ge 1 \end{array} \right.\) \( g(x) = 2 \)
\( |x+1|+|x-1| = \left\{ \begin{array}{cl} -2x & :\,\,\,\, \ x\lt-1 \\ 2 & :\,\,\,\, \ -1\le x \lt 1 \\ 2x & :\,\,\,\,\,\,\,\ x\ge 1 \end{array} \right.\) \( g(x) = 2 \)
Na układ współrzędny nanosimy wykresy funkcji \(f(x)\) i \(g(x)\)
Częścią wspólną wykresów jest przedział:
\( x\in \left\langle -1,1 \right\rangle \)
\( x\in \left\langle -1,1 \right\rangle \)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana \( |x+1|+|x-1| =2 \) jest przedział \( x\in \left\langle -1,1 \right\rangle \)