DŁUGOŚĆ WEKTORA - ZADANIA
Zadanie 4
Punkty początkowy i końcowy wektora \(\overrightarrow{AB}\) w przestrzeni mają współrzędne \(A = (m,\, -1,\, 1)\) oraz \(B = (3,\, m,\, 3)\). Wyznacz wartości parametru \(m\), dla których długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) wynosi \(\sqrt{30}\).
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy współrzędne wektora \(\overrightarrow{AB}\) w zależności od parametru \(m\):
\( \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\, y_B - y_A,\, z_B - z_A] = \)
\( \overrightarrow{AB} = [3 - m,\, m - (-1),\, 3 - 1] \)
\( \overrightarrow{AB} = [3 - m,\, m + 1,\, 2] \)
Zapisujemy równanie na długość wektora w przestrzeni 3D i podnosimy je do kwadratu:
\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(3 - m)^2 + (m + 1)^2 + 2^2} = \sqrt{30} \)
\( (3 - m)^2 + (m + 1)^2 + 4 = 30 \)
Rozwijamy nawiasy, redukujemy wyrazy i przekształcamy do postaci trójmianu kwadratowego:
\( (9 - 6m + m^2) + (m^2 + 2m + 1) + 4 = 30 \)
\( 2m^2 - 4m + 14 = 30 \)
\( 2m^2 - 4m - 16 = 0 \quad / : 2 \)
\( m^2 - 2m - 8 = 0 \)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą delty:
\( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6 \)
\( m_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \quad m_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
Odpowiedź
Długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) jest równa \(\sqrt{30}\) dla \(m = -2\) oraz dla \(m = 4\).
