DŁUGOŚĆ WEKTORA
Długość wektora oznaczamy symbolem wartości bezwzględnej.
Na przykład długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) zapisujemy \(|\overrightarrow{AB}|\), a długość wektora \(\vec{u}\) zapisujemy \(|\vec{u}|\).
Na przykład długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) zapisujemy \(|\overrightarrow{AB}|\), a długość wektora \(\vec{u}\) zapisujemy \(|\vec{u}|\).
Interpretacja geometryczna długości wektora
Długość wektora \( \vec{u}=[x,y]\) jest równa odległości punktu \( P=(x,y) \) od początku układu współrzędnych
Przykłady :
Oblicz długość wektora \( \vec{u}=[3,-4] \)
Rozwiązanie, korzystamy ze wzoru z definicji
\[|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]
Wzór na długość wektora w przestrzeni jest naturalnym rozszerzeniem wzoru dla płaszczyzny.
Do sumy kwadratów współrzędnych dochodzi kwadrat trzeciej współrzędnej \(u_z\).
Do sumy kwadratów współrzędnych dochodzi kwadrat trzeciej współrzędnej \(u_z\).
Definicja (Długość wektora w przestrzeni)
Długość wektora \[ \vec{u}=[u_x,\,u_y,\,u_z] \] określona jest wzorem \[ |\vec{u}|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}+u_z^{2}}. \] Jeżeli punkt \(A=(x_A,y_A,z_A)\) jest początkiem wektora, a punkt \(B=(x_B,y_B,z_B)\) jego końcem, to długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) wyraża się wzorem \[ |\overrightarrow{AB}|= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. \]DŁUGOŚĆ WEKTORA - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) o początku w punkcie \(A = (1, 2)\) i końcu w punkcie \(B = (5, 5)\).
Zadanie 3
Wyznacz wartości parametru \(m\), dla których wektor \(\vec{v} = [m + 2,\, m - 1]\) ma długość równą \(\sqrt{29}\).
Zadanie 4
Punkty początkowy i końcowy wektora \(\overrightarrow{AB}\) w przestrzeni mają współrzędne \(A = (m,\, -1,\, 1)\) oraz \(B = (3,\, m,\, 3)\). Wyznacz wartości parametru \(m\), dla których długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) wynosi \(\sqrt{30}\).