DŁUGOŚĆ WEKTORA - ZADANIA
Zadanie 3
Wyznacz wartości parametru \(m\), dla których wektor \(\vec{v} = [m + 2,\, m - 1]\) ma długość równą \(\sqrt{29}\).
Rozwiązanie
Zapisujemy wzór na długość wektora i przyrównujemy go do \(\sqrt{29}\):
\( |\vec{v}| = \sqrt{(m + 2)^2 + (m - 1)^2} = \sqrt{29} \)
Podnosimy obie strony do kwadratu i stosujemy wzory skróconego mnożenia:
\( (m + 2)^2 + (m - 1)^2 = 29 \)
\( (m^2 + 4m + 4) + (m^2 - 2m + 1) = 29 \)
Redukujemy wyrazy podobne i sprowadzamy równanie kwadratowe do postaci ogólnej:
\( 2m^2 + 2m + 5 = 29 \)
\( 2m^2 + 2m - 24 = 0 \quad / : 2 \)
\( m^2 + m - 12 = 0 \)
Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego (\(\Delta\)) oraz jego pierwiastki:
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
\( \sqrt{\Delta} =\sqrt{49}= 7 \)
\( m_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4, \quad m_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
Odpowiedź
Wektor \(\vec{v}\) ma długość \(\sqrt{29}\) dla \(m = -4\) oraz dla \(m = 3\).
