ILOCZYN MIESZANY WEKTORÓW

Definicja (iloczyn mieszany wektorów)

Niech \( \vec{u} , \vec{v}, \vec{w} \) będą wektorami w \(R^3\)
Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów \( \vec{u} , \vec{v}, \vec{w}\) określamy wzorem: \[(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\left( \vec{u}\times \vec{v} \right)\circ \vec{w}\]

Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów

Iloczyn mieszanym wektorów \( \vec{u} , \vec{v}, \vec{w} \) jest równy objętości równoległościanu \(V\) rozpiętego na wektorach \( \vec{u} , \vec{v}, \vec{w} \) \[|V|= |( \vec{u} , \vec{v}, \vec{w} )|\] iloczyn mieszany wektorów jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach.

iloczyn mieszany wektorów jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach.

Twierdzenie (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)

Niech \( \vec{u}=[x_1,\,y_1,\,z_1)],\, \vec{v}=[x_2,\,y_2,\,z_2] ,\, \vec{w}=[x_3,\,y_3,\,z_3]\) będą wektorami w \(R^3\)
Wtedy: \[\left( \vec{u}\times \vec{v} \right)\circ \vec{w}=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}\]

Własności (iloczynu mieszanego)

1. \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})=(\vec{v},\vec{w},\vec{u})\)

2. \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})=-(\vec{v},\vec{u},\vec{w})\)

3. \((\alpha\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\alpha(\vec{u},\vec{v},\vec{w})\)

4. \(\vec{u}\times(\vec{v} + \vec{w}) =\vec{u} \times \vec{v}+\vec{u} \times \vec{w}\)

5. \( (\vec{u},\vec{v},\vec{w})|\leqslant |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \)

6. wektory \( \vec{u},\vec{v},\vec{w}\) leżą w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0\)

→ dalej Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni →

← wstecz Iloczyn wektorowy ←